ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника основания как \(a\) и \(a \tan \alpha\). Площадь основания равна \(S = \frac{1}{2} a \cdot a \tan \alpha = \frac{a^2 \tan \alpha}{2}\).

Высота пирамиды \(h\) связана с боковыми рёбрами, наклонёнными под углом \(\beta\), и равна \(h = \frac{a}{2 \cos \alpha} \tan \beta\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\).

Подставляем значения:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \cdot \frac{a}{2 \cos \alpha} \tan \beta = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos \alpha}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который служит основанием пирамиды. Пусть один из катетов равен \(a\), а второй катет выражается через первый и угол \(\alpha\) как \(a \tan \alpha\). Это означает, что угол \(\alpha\) — это угол при катете \(a\), и противоположный ему катет равен \(a \tan \alpha\), так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, мы можем однозначно задать размеры основания через параметр \(a\) и угол \(\alpha\).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле половины произведения катетов. В нашем случае это будет \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan \alpha)\). Раскрывая скобки, получаем \(S = \frac{a^2 \tan \alpha}{2}\). Эта формула показывает, что площадь основания зависит от квадрата длины катета \(a\) и от угла \(\alpha\) через функцию тангенса. Чем больше угол \(\alpha\), тем больше значение \(\tan \alpha\), и, следовательно, площадь основания увеличивается при фиксированном \(a\).

Теперь перейдём к высоте пирамиды \(h\). Высота связана с боковыми рёбрами, которые наклонены под углом \(\beta\) к основанию. Для определения высоты нам нужно понять геометрическую связь между этими величинами. Высота выражается через \(a\), угол \(\alpha\) и угол \(\beta\) по формуле \(h = \frac{a}{2 \cos \alpha} \tan \beta\). Здесь знаменатель \(2 \cos \alpha\) появляется из-за того, что высота опущена из вершины пирамиды на основание, а боковые рёбра наклонены под углом \(\beta\). Функция \(\tan \beta\) показывает, насколько сильно высота «поднимается» относительно горизонтальной плоскости основания. Таким образом, эта формула учитывает и длину стороны основания, и углы наклона боковых рёбер.

Объём пирамиды вычисляется по классической формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Подставим в неё полученные выражения для \(S\) и \(h\):

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \cdot \frac{a}{2 \cos \alpha} \tan \beta\).

Упростим выражение, объединив множители:

\(V = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{3 \cdot 2 \cdot 2 \cos \alpha} = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos \alpha}\).

Эта формула отражает, что объём пирамиды зависит от куба длины катета \(a\), а также от углов \(\alpha\) и \(\beta\) через функции тангенса и косинуса. При фиксированном \(a\) изменение углов существенно влияет на объём, показывая, как геометрия основания и наклон боковых рёбер влияют на трёхмерный размер пирамиды.