ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна \(b\). Угол между боковыми сторонами основания пирамиды равен \(\beta\). Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью её основания угол \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Основание — равнобедренный треугольник со сторонами \(b\) и углом между боковыми сторонами \(\beta\). Площадь основания равна \( \frac{1}{2} b^2 \sin \frac{\beta}{2} \cdot 2 \cos \frac{\beta}{2} = b^2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} \).

Высота пирамиды связана с углом \(\alpha\) и равна \(h = b \tan \alpha\).

Объём пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times h = \frac{1}{3} \times b^2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} \times b \tan \alpha =\)
\(= \frac{1}{3} b^3 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} \tan \alpha\).

Используя формулу \(2 \sin x \cos x = \sin 2x\), получаем \(V = \frac{1}{6} b^3 \sin \beta \tan \alpha\).

Ответ: \(V = \frac{1}{6} b^3 \sin \frac{\beta}{2} \tan \alpha\).

Основание пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами длины \(b\) и углом между ними равным \(\beta\). Для вычисления площади основания сначала рассмотрим этот треугольник. Площадь равнобедренного треугольника можно найти через две боковые стороны и угол между ними по формуле \(S = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta\). Однако в данной задаче угол между боковыми сторонами основания равен \(2 \times \frac{\beta}{2}\), поэтому площадь основания можно выразить через половину угла: \(S = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta = \frac{1}{2} b^2 \cdot 2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} = b^2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2}\).

Высота пирамиды определяется углом \(\alpha\), который образует каждое боковое ребро с плоскостью основания. Длина бокового ребра равна \(b\), и высота пирамиды \(h\) — это проекция этого ребра на перпендикуляр к основанию. Так как угол между ребром и основанием равен \(\alpha\), высота выражается через длину ребра и тангенс угла: \(h = b \tan \alpha\). Это связано с тем, что при наклоне ребра под углом \(\alpha\) высота является противолежащим катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна \(b\), а прилежащий катет лежит в плоскости основания.

Объём пирамиды рассчитывается по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Подставляя выражения для площади и высоты, получаем \(V = \frac{1}{3} \times b^2 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} \times b \tan \alpha = \frac{1}{3} b^3 \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} \tan \alpha\). Используя тригонометрическую формулу \(2 \sin x \cos x = \sin 2x\), можно упростить произведение \(\sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2}\) до \(\frac{1}{2} \sin \beta\). В итоге объём выражается как \(V = \frac{1}{6} b^3 \sin \beta \tan \alpha\). Таким образом, объём пирамиды зависит от длины бокового ребра \(b\), угла между боковыми сторонами основания \(\beta\) и угла наклона бокового ребра \(\alpha\).