ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим объём пирамиды через \(V\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота.

Площадь основания ромба со стороной \(a\) и углом \(\alpha\) равна \(S = a^2 \sin \alpha\).

Высота пирамиды выражается через двугранный угол \(\beta\) как \(h = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta\).

Подставляем в формулу объёма:
\(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta = \frac{1}{6} a^3 \sin^2 \alpha \tan \beta\).

Объём пирамиды \(V\) находится по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. В данной задаче основание — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\), поэтому сначала нужно найти площадь этого ромба. Площадь ромба вычисляется по формуле \(S = a^2 \sin \alpha\), так как площадь равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.

Далее необходимо определить высоту пирамиды \(h\). Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В условии дан двугранный угол \(\beta\) при ребре основания. Этот угол связан с высотой и сторонами основания. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, ребром основания и линией, лежащей в плоскости боковой грани. Высота выражается через сторону \(a\), угол \(\alpha\) и тангенс угла \(\beta\) по формуле \(h = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta\). Здесь \(\frac{1}{2} a \sin \alpha\) — это расстояние от центра ромба до середины стороны (высота ромба), а \(\tan \beta\) показывает наклон боковой грани относительно основания.

Теперь подставим найденные выражения площади основания и высоты в формулу объёма. Получаем
\(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta = \frac{1}{6} a^3 \sin^2 \alpha \tan \beta\). Таким образом, объём пирамиды зависит от куба стороны основания, квадрата синуса угла основания и тангенса двугранного угла при ребре.