ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны 4 см и 10 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(45^\circ\), а объём пирамиды равен \(280\) см\(^3\). Найдите высоту пирамиды.

Основание — трапеция с основаниями \(a=4\) см и \(b=10\) см. Площадь основания равна \(S=\frac{a+b}{2} \cdot h_{\text{осн}} = 7 h_{\text{осн}}\).

Объем пирамиды \(V=\frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 7 h_{\text{осн}} \cdot H = \frac{280}{3}\).

Двугранный угол при ребрах основания равен \(45^\circ\), значит \(\tan 45^\circ = 1 = \frac{H}{h_{\text{осн}}}\), откуда \(H = h_{\text{осн}}\).

Подставляем \(H = h_{\text{осн}}\) в формулу объема: \(\frac{1}{3} \cdot 7 h_{\text{осн}} \cdot h_{\text{осн}} = \frac{280}{3}\), откуда \(7 h_{\text{осн}}^2 = 280\).

Решая, получаем \(h_{\text{осн}}^2 = 40\), значит \(h_{\text{осн}} = 2 \sqrt{10}\).

Высота пирамиды равна \(H = 2 \sqrt{10}\) см.

Основание пирамиды — трапеция с основаниями \(a = 4\) см и \(b = 10\) см. Для вычисления площади основания нужно знать высоту трапеции, обозначим её \(h_{\text{осн}}\). Площадь трапеции рассчитывается по формуле \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h_{\text{осн}}\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{4 + 10}{2} \cdot h_{\text{осн}} = 7 h_{\text{осн}}\). Таким образом, площадь основания выражается через высоту трапеции.

Объем пирамиды определяется формулой \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(H\) — высота пирамиды. Подставляя площадь основания, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot 7 h_{\text{осн}} \cdot H\). Из условия задачи известно, что объем равен \(\frac{280}{3}\) кубических сантиметров, значит уравнение принимает вид \(\frac{1}{3} \cdot 7 h_{\text{осн}} \cdot H = \frac{280}{3}\). Умножая обе части на 3, получаем \(7 h_{\text{осн}} \cdot H = 280\).

Двугранный угол при ребрах основания равен \(45^\circ\). Это значит, что отношение высоты пирамиды \(H\) к высоте трапеции \(h_{\text{осн}}\) равно \(\tan 45^\circ = 1\), то есть \(H = h_{\text{осн}}\). Подставляя это в уравнение объема, получаем \(7 h_{\text{осн}} \cdot h_{\text{осн}} = 280\), или \(7 h_{\text{осн}}^{2} = 280\). Делим обе части на 7, получаем \(h_{\text{осн}}^{2} = 40\), откуда \(h_{\text{осн}} = 2 \sqrt{10}\). Значит высота пирамиды равна \(H = 2 \sqrt{10}\) см.