ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(60^\circ\). Найдите объём пирамиды.

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6, 25 и 29 см.

Полупериметр треугольника:
\(p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = 30\) см.

Площадь основания по формуле Герона:
\(S = \sqrt{p(p — 6)(p — 25)(p — 29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = 60\) см².

Высота пирамиды \(h\) вычисляется через двугранный угол \(60^\circ\) и высоту треугольника основания, равную 20 см:
\(h = 20 \sqrt{3}\).

Объём пирамиды:
\(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 20 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}\) см³.

Основание пирамиды представляет собой треугольник с длинами сторон 6 см, 25 см и 29 см. Чтобы найти площадь этого треугольника, сначала вычисляем его полупериметр \(p\), который равен половине суммы всех сторон: \(p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = 30\) см. Полупериметр необходим для применения формулы Герона, которая позволяет найти площадь треугольника по известным сторонам без знания высоты.

Далее применяем формулу Герона для площади основания: \(S = \sqrt{p(p — 6)(p — 25)(p — 29)}\). Подставляя значения, получаем \(S = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60\) см². Это значение площади основания пирамиды, которое мы используем для вычисления объёма. Формула Герона удобна тем, что позволяет найти площадь треугольника, используя только длины сторон, что особенно полезно, когда высота основания неизвестна.

Высота пирамиды \(h\) связана с двугранным углом между боковой гранью и основанием, который равен \(60^\circ\). Из условия задачи высота треугольника основания равна 20 см. Используя тригонометрию, высота пирамиды вычисляется как \(h = 20 \sqrt{3}\) см. Наконец, объём пирамиды находим по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), подставляя найденные значения: \(V = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 20 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}\) см³. Таким образом, объём пирамиды равен \(40 \sqrt{3}\) кубических сантиметров.