ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной \(a\). Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к нему под углом \(60^\circ\). Найдите объём пирамиды.

Основание — правильный треугольник со стороной \(a\).

Площадь основания равна \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\).

Высота пирамиды \(h\) равна \( \frac{3a}{2} \).

Подставляем значения:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{8}\).

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a\). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Это стандартная формула для площади правильного треугольника, где \(a\) — длина стороны, а \(\sqrt{3}\) возникает из соотношений внутри равностороннего треугольника. Площадь основания нужна для расчёта объёма пирамиды, так как объём определяется через площадь основания и высоту.

Высота пирамиды \(h\) — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В условии сказано, что две боковые грани перпендикулярны основанию, а третья наклонена под углом \(60^\circ\). Это позволяет найти высоту пирамиды, используя геометрические соотношения. Если обозначить длину ребра, соединяющего вершину с основанием, то высота \(h\) будет равна проекции этого ребра на вертикальную ось. Из условия и рисунка видно, что высота равна \(h = \frac{3a}{2}\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\). Подставляя площадь основания и высоту, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2}\). Упрощая выражение, сокращаем 3 в числителе и знаменателе, получаем \(V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}\). Таким образом, объём пирамиды равен \(\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}\), что соответствует объёму правильной пирамиды с заданными условиями наклона граней.