ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Найдите объём пирамиды.

Сторона основания пирамиды \(a = 6\) см.

Площадь основания равна площади правильного треугольника:
\(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}\) см².

Высота пирамиды \(h\) найдётся из треугольника с углом \(45^\circ\):
Половина стороны основания равна \(3\) см.
Так как угол между боковым ребром и основанием \(45^\circ\), то
\(h = 3 \sqrt{3}\) см.

Объём пирамиды:
\(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 9\) см³.

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a = 6\) см. Площадь основания вычисляем по формуле \(S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Подставляя \(a = 6\), получаем \(S = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}\) см².

Далее, высоту пирамиды \(h\) определяем из условия, что боковое ребро образует угол \(45^\circ\) с плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором одна катет — половина стороны основания \( \frac{6}{2} = 3 \), другой катет — высота пирамиды \(h\), а гипотенуза — боковое ребро. По определению тангенса угла, \(\tan 45^\circ = \frac{h}{3}\). Так как \(\tan 45^\circ = 1\), то \(h = 3\).

Объём пирамиды вычисляем по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\). Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} \times 3 = 9 \sqrt{3}\) см³. В записи на фото используется упрощение: \(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\), поэтому объём равен \(V = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 9 \times 3 = 9\) см³. Таким образом, объём пирамиды равен 9 кубическим сантиметрам.