ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Грани \(DAB\) и \(DAC\) пирамиды \(DABC\) перпендикулярны основанию, а грань \(DBC\) наклонена к основанию под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды, если \(AB = BC = m\), \(\angle BAC = \alpha\).

Обозначим площадь основания пирамиды \(S\). Поскольку \(AB = BC = m\) и \(\angle BAC = \alpha\), площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha\).

Объем пирамиды вычисляем по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\).

Высота \(h\) равна \(m \tan \beta\), так как грани \(DAB\) и \(DAC\) перпендикулярны основанию, а грань \(DBC\) наклонена под углом \(\beta\).

Подставляем значения:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha \cdot m \tan \beta = \frac{1}{6} m^3 \sin 2\alpha \tan \beta\).

Основание пирамиды — треугольник \(ABC\), у которого стороны \(AB\) и \(BC\) равны \(m\), а угол при вершине \(A\) равен \(\alpha\). Для нахождения площади основания сначала используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. Поскольку \(AB = BC = m\), угол при вершине \(B\) равен \(180^\circ — 2\alpha\), но для площади удобнее использовать угол \(2\alpha\), так как площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Тогда площадь основания будет равна \(S = \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha\).

Для вычисления объема пирамиды нам нужна высота \(h\), опущенная из вершины \(D\) на основание \(ABC\). Из условия известно, что грани \(DAB\) и \(DAC\) перпендикулярны основанию, то есть высота лежит на линии, которая образует прямой угол с плоскостью основания. Грань \(DBC\) наклонена к основанию под углом \(\beta\). Это означает, что высота пирамиды связана с длиной ребра \(DB\) и углом \(\beta\). Так как ребро \(DB\) равно \(m\), высота равна \(h = m \tan \beta\).

Объем пирамиды вычисляем по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\). Подставляя найденные выражения для площади основания и высоты, получаем:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha \cdot m \tan \beta = \frac{1}{6} m^3 \sin 2\alpha \tan \beta\). Этот результат показывает, что объем зависит от куба длины ребра \(m\), углов \(\alpha\) и \(\beta\), и учитывает геометрические особенности пирамиды.