ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны \(a\) и \(b\), \(a > b\). Двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим площади оснований через \(S_1\) и \(S_2\). Для правильного треугольника площадь равна \(S = \frac{сторона^2 \sqrt{3}}{4}\).

Значит,

\(S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\),

\(S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\).

Высота пирамиды связана с двугранным углом \(\alpha\) и стороной \(a\) через формулу

\(h = a \tan \alpha\).

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\).

Подставляем \(S_1\), \(S_2\) и \(h\):

\(V = \frac{1}{3} \tan \alpha \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\right)\).

Упрощаем подкоренное выражение и получаем:

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \sqrt{3}}{24} \tan \alpha\).

Площадь правильного треугольника с длиной стороны \(a\) вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\). Это связано с тем, что площадь равностороннего треугольника равна половине произведения его основания на высоту, а высота равна \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Аналогично, если у основания усечённой пирамиды сторона равна \(b\), то площадь второго основания будет \(S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\).

Высота усечённой пирамиды \(h\) связана с двугранным углом \(\alpha\) и длиной стороны основания \(a\). Поскольку двугранный угол — это угол между боковой гранью и основанием, высоту можно выразить через тангенс этого угла: \(h = a \tan \alpha\). Это отражает геометрическую зависимость высоты от угла наклона боковой грани.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\), где \(S_1\) и \(S_2\) — площади оснований. Подставляя формулы для площадей и высоты, получаем

\(V = \frac{1}{3} \tan \alpha \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\right)\).

Упрощая выражение под корнем и учитывая общий множитель, окончательно приходим к формуле

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \sqrt{3}}{24} \tan \alpha\),

которая даёт объём правильной треугольной усечённой пирамиды через стороны оснований и двугранный угол.