ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны \(a\) и \(b\), \(a > b\). Угол между боковым ребром пирамиды и большим основанием равен \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле
\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\),
где \(S_1 = a^2\) — площадь большего основания,
\(S_2 = b^2\) — площадь меньшего основания.

Высоту \(h\) можно выразить через боковое ребро и угол \(\alpha\). Тогда объём равен
\(V = \frac{(a^3 — b^3) \sqrt{2} \, \mathrm{tg} \, \alpha}{6}\).

1. Объём усечённой пирамиды находится по формуле
\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\),
где \(h\) — высота усечённой пирамиды, \(S_1\) и \(S_2\) — площади оснований. В задаче основания правильные четырёхугольники, поэтому площади равны квадратам сторон: \(S_1 = a^2\), \(S_2 = b^2\), где \(a > b\).

2. Для нахождения высоты \(h\) используем угол \(\alpha\) между боковым ребром и большим основанием. Боковое ребро образует с основанием угол \(\alpha\), значит высота связана с этим углом и длинами сторон. Высота выражается через разницу в длинах сторон и угол:
\(h = \frac{(a — b)}{\sqrt{2}} \tan \alpha\).

3. Подставляя значения площадей и высоты в формулу объёма, получаем
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a — b)}{\sqrt{2}} \tan \alpha \cdot (a^2 + a b + b^2)\).
Используя формулу суммы кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + a b + b^2)\), выражение упрощается до
\(V = \frac{(a^3 — b^3) \sqrt{2} \tan \alpha}{6}\).
Таким образом, объём усечённой пирамиды выражается через длины сторон оснований и угол \(\alpha\).