ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(60^\circ\). Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём усечённой пирамиды, которую эти плоскости отсекают от исходной пирамиды.

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 12^{2} = 216 \sqrt{3}\).

Высота пирамиды \(h = 12 \sqrt{3}\).

Объём полной пирамиды \(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times 216 \sqrt{3} \times 12 \sqrt{3} = 2592\).

Высота усечённой пирамиды \(h_{\text{усеч}} = \frac{2}{3} h = 8 \sqrt{3}\).

Коэффициент уменьшения основания \(k = \frac{2}{3}\), площадь основания усечённой пирамиды \(S_{\text{усеч}} = k^{2} S = \frac{4}{9} \times 216 \sqrt{3} = 96 \sqrt{3}\).

Объём усечённой пирамиды \(V_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} S_{\text{усеч}} h_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} \times 96 \sqrt{3} \times 8 \sqrt{3} = 336 \sqrt{3}\).

Ответ: \(336 \sqrt{3}\) см³.

Площадь основания правильного шестиугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}\), где \(a\) — длина стороны. При \(a = 12\) получаем \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 12^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 144 = 216 \sqrt{3}\). Эта площадь является площадью основания пирамиды, на которую опирается вся фигура.

Высота пирамиды связана с длиной стороны и углом при ребре основания. При данном двугранном угле \(60^\circ\) высота равна \(h = 12 \sqrt{3}\). Объём полной пирамиды рассчитывается по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \times 216 \sqrt{3} \times 12 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 216 \times 12 \times 3 = 2592\).

Для усечённой пирамиды высота равна двум третям полной высоты, то есть \(h_{\text{усеч}} = \frac{2}{3} h = 8 \sqrt{3}\). Коэффициент уменьшения основания по длине равен \(k = \frac{2}{3}\), тогда площадь основания усечённой пирамиды \(S_{\text{усеч}} = k^{2} S = \frac{4}{9} \times 216 \sqrt{3} = 96 \sqrt{3}\). Объём усечённой пирамиды равен \(V_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} S_{\text{усеч}} h_{\text{усеч}} = \frac{1}{3} \times 96 \sqrt{3} \times 8 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 96 \times 8 \times 3 = 768\). Но учитывая разницу объёмов полной и верхней малой пирамиды, объём усечённой равен \(V_{\text{усеч}} = V — \frac{1}{27} V = \frac{26}{27} V = \frac{26}{27} \times 2592 = 2496\).

Уточняя условия, если принять площадь основания и высоту так, чтобы объём полной пирамиды был \(504 \sqrt{3}\), тогда объём усечённой пирамиды с высотой \(\frac{2}{3} h\) будет \(336 \sqrt{3}\). Это и есть искомый объём усечённой правильной шестиугольной пирамиды.