ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(a\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с ребром \(a\).

Запишем уравнение для радиуса вписанного шара \(R\):

\(R^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}} — R\right)^2\),

где высота \(h = \frac{a}{2}\).

Подставим \(h\):

\(R^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}} — R\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).

Раскроем скобки:

\(R^2 = \frac{a^2}{2} — 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} R + R^2 + \frac{a^2}{4}\).

Сократим \(R^2\) с обеих сторон:

\(0 = \frac{a^2}{2} — 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} R + \frac{a^2}{4}\).

Перенесём слагаемые:

\(\frac{2 a R}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3 a^2}{4}\).

Выразим \(R\):

\(R = \frac{3 a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2 a} = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}\).

Упростим и представим в виде:

\(R = \frac{(\sqrt{6} — \sqrt{2}) a}{4}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с ребром \(a\). В такой пирамиде основание — квадрат со стороной \(a\), а все боковые рёбра равны. Для нахождения радиуса вписанного шара \(R\) нужно учесть, что шар касается всех граней пирамиды, то есть расстояние от центра шара до каждой грани одинаково и равно \(R\).

Высота пирамиды обозначена как \(h\). В правильной четырёхугольной пирамиде высота связана с ребром основания: \(h = \frac{a}{2}\). Радиус вписанного шара можно выразить через \(h\) и расстояние от центра основания до точки касания шара с основанием. Эта точка находится на расстоянии \( \frac{a}{\sqrt{2}} — R \) от центра основания, так как радиус вписанного круга основания равен \( \frac{a}{\sqrt{2}} \), а шар касается основания внутри. Тогда по теореме Пифагора радиус шара удовлетворяет уравнению \(R^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}} — R\right)^2\).

Раскроем скобки и упростим уравнение: \(R^2 = \frac{a^2}{2} — 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} R + R^2 + \frac{a^2}{4}\). Сократим \(R^2\) с обеих сторон, получим \(0 = \frac{a^2}{2} — 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} R + \frac{a^2}{4}\). Перенесём слагаемые так, чтобы выразить \(R\): \(2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} R = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3 a^2}{4}\).

Теперь выразим \(R\): \(R = \frac{3 a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2 a} = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}\). Упростим выражение и представим в более удобном виде: \(R = \frac{(\sqrt{6} — \sqrt{2}) a}{4}\). Таким образом, радиус вписанного шара в правильную четырёхугольную пирамиду с ребром \(a\) равен \( \frac{(\sqrt{6} — \sqrt{2}) a}{4} \).