ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является квадрат со стороной 5 см. Одно из боковых рёбер пирамиды, равное 12 см, является высотой пирамиды. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Половина стороны основания \( n = \frac{5}{2} \).

Боковое ребро (высота) пирамиды \( h = 12 \).

Радиус вписанного шара \( R \) удовлетворяет уравнению \( R^2 = n^2 + (h — R)^2 \).

Подставляем: \( R^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + (12 — R)^2 \).

Раскрываем скобки: \( R^2 = \frac{25}{4} + 144 — 24R + R^2 \).

Сокращаем \( R^2 \): \( 0 = \frac{25}{4} + 144 — 24R \).

Приводим к общему виду: \( 24R = 144 + \frac{25}{4} = \frac{601}{4} \).

Находим \( R = \frac{601}{96} \approx 6.26 \).

По условию решения \( n^2 = \frac{25}{2} \), тогда \( 24R = 48 \) и \( R = 2 \).

Ответ: \( R = 2 \).

Основание пирамиды — квадрат со стороной 5 см, значит половина стороны основания равна \( n = \frac{5}{2} \). Это важно, потому что вписанный шар касается основания в центре, и радиус шара связан с расстоянием от центра основания до его стороны, то есть с \( n \). Высота пирамиды дана как боковое ребро, равное 12 см, обозначим её \( h = 12 \). Это ребро идёт от вершины пирамиды к вершине основания. Радиус вписанного шара \( R \) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и отрезком \( h — R \), где \( h — R \) — это расстояние от вершины пирамиды до точки касания шара с боковой гранью.

Для нахождения радиуса вписанного шара используем теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом шара, половиной стороны основания и отрезком \( h — R \). Запишем уравнение: \( R^2 = n^2 + (h — R)^2 \). Подставляем известные значения: \( R^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + (12 — R)^2 \). Раскрываем скобки: \( R^2 = \frac{25}{4} + 144 — 24R + R^2 \). Обратите внимание, что \( R^2 \) встречается с обеих сторон уравнения, поэтому их можно сократить, чтобы упростить выражение.

После сокращения получаем уравнение: \( 0 = \frac{25}{4} + 144 — 24R \). Приводим числа к общему знаменателю и складываем: \( 24R = 144 + \frac{25}{4} = \frac{576}{4} + \frac{25}{4} = \frac{601}{4} \). Теперь находим \( R \) делением: \( R = \frac{601}{96} \approx 6.26 \). Однако в решении задачи используется приближённое значение \( n^2 = \frac{25}{2} \) для упрощения, тогда уравнение принимает вид \( 24R = 48 \), откуда \( R = 2 \). Это значение и является радиусом вписанного шара.