ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает боковое ребро \(SA\) в точке \(M\) так, что \(SM : SA = k\). Найдите отношение объёма образовавшейся пирамиды к объёму данной пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию, образует меньшую пирамиду, подобную исходной.

Отношение линейных размеров равно \(k\), то есть \(SM : SA = k\).

Объём пирамиды пропорционален кубу линейного масштаба, поэтому отношение объёмов равно

\( \frac{V_1}{V} =\frac{ k^3}{1} \).

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает боковое ребро в точке, которая делит это ребро в отношении \(SM : SA = k\). Это означает, что длина от вершины пирамиды до точки сечения составляет долю \(k\) от всей длины ребра. В геометрии при параллельном сечении основания фигуры получается подобная фигура, у которой все линейные размеры масштабированы на коэффициент \(k\).

Так как фигуры подобны, все линейные размеры меньшей пирамиды равны соответствующим линейным размерам исходной, умноженным на \(k\). Площадь основания изменится как квадрат коэффициента масштаба, то есть умножится на \(k^2\). Высота меньшей пирамиды также пропорциональна \(k\), так как она измеряется по направлению от вершины к основанию.

Объём пирамиды пропорционален произведению площади основания на высоту, следовательно, объём изменится как куб коэффициента масштаба. Таким образом, отношение объёмов меньшей и исходной пирамид равно кубу числа \(k\), то есть \( \frac{V_1}{V} =\frac{ k^3}{1} \).