ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Объём призмы \(ABCA_1B_1C_1\), изображённой на рисунке 19.10, равен \(V\). Точка \(D\) — середина ребра \(AA_1\). Найдите объём пирамиды \(DABC\).

Объём призмы равен \(V = S \times h\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота призмы.

Точка \(D\) — середина ребра \(AA_1\), значит высота пирамиды \(DABC\) равна \(\frac{h}{2}\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \times S \times \text{высота}\).

Подставляем высоту пирамиды:

\(V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \times S \times \frac{h}{2} = \frac{1}{6} S h\).

Так как \(V = S h\), получаем

\(V_{\text{пирамида}} = \frac{V}{6}\).

Объём призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равен \(V\), и он вычисляется как произведение площади основания \(S\) на высоту \(h\), то есть \(V = S \times h\). Основание призмы — треугольник \(ABC\), и его площадь остаётся неизменной при переходе к пирамиде \(DABC\), так как основание пирамиды совпадает с основанием призмы. Высота призмы — это длина ребра \(AA_1\), перпендикулярного плоскости основания.

Точка \(D\) — середина ребра \(AA_1\), значит расстояние от точки \(D\) до плоскости основания \(ABC\) равно половине высоты призмы, то есть \(\frac{h}{2}\). Пирамида \(DABC\) построена на том же основании, что и призма, но её высота вдвое меньше, чем у призмы. Это ключевой момент, который влияет на вычисление объёма пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \times S \times \text{высота}\). Подставляя высоту пирамиды \(\frac{h}{2}\), получаем \(V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \times S \times \frac{h}{2} = \frac{1}{6} S h\). Так как объём призмы \(V = S h\), объём пирамиды будет равен \(V_{\text{пирамида}} = \frac{V}{6}\). Таким образом, объём пирамиды \(DABC\) составляет одну шестую часть объёма призмы \(ABCA_1B_1C_1\).