ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равновеликие части. В каком отношении эта плоскость делит боковое ребро?

Обозначим длину бокового ребра пирамиды за \( AB \), а точку пересечения плоскости с ребром за \( M \). Пусть \( AM = x \cdot AB \).

Поскольку плоскость параллельна основанию, сечение пирамиды подобно основанию, и отношение объёмов частей пропорционально кубу линейных масштабов.

Объём верхней части равен половине объёма всей пирамиды, значит
\( x^3 = \frac{1}{2} \), откуда \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \).

Тогда отношение, в котором плоскость делит ребро, равно
\( \frac{AM}{MB} = \frac{x}{1 — x} = \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1 — \frac{1}{\sqrt[3]{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} — 1} \).

Пусть \( AB \) — боковое ребро пирамиды, а точка \( M \) — точка пересечения плоскости, параллельной основанию, с этим ребром. Обозначим отношение длины отрезка \( AM \) к длине всего ребра \( AB \) через \( x \), то есть \( AM = x \cdot AB \). Поскольку плоскость параллельна основанию, сечение пирамиды, проходящее через \( M \), будет подобно основанию, а значит линейные размеры этого сечения пропорциональны \( x \).

Объём пирамиды зависит от площади основания и высоты. При параллельном сечении высота новой меньшей пирамиды равна \( x \) от высоты всей, а площадь основания сечения пропорциональна квадрату \( x \), так как сечение подобно основанию. Следовательно, объём меньшей пирамиды равен объёму всей, умноженному на \( x^3 \).

По условию плоскость делит объём пирамиды на две равные части, значит объём меньшей пирамиды равен половине объёма всей. Запишем это в виде уравнения: \( x^3 = \frac{1}{2} \). Решая уравнение, получаем \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \).

Теперь найдём отношение отрезков, на которые плоскость делит боковое ребро. Это отношение \( \frac{AM}{MB} = \frac{x}{1 — x} \). Подставляя найденное значение \( x \), получаем \( \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1 — \frac{1}{\sqrt[3]{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} — 1} \). Таким образом, плоскость делит боковое ребро в отношении \( \frac{1}{\sqrt[3]{2} — 1} \).