ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь основания пирамиды равна 3 см\(^2\), а объём пирамиды равен 3 см\(^3\). Пирамиду пересекли двумя плоскостями, параллельными её основанию. Площади образовавшихся сечений равны 1 см\(^2\) и 2 см\(^2\). Найдите объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями.

Пусть высота пирамиды \(H\). Тогда из объёма \(V = \frac{1}{3} S_0 H\) имеем \(3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot H\), значит \(H = 3\).

Площади сечений пропорциональны квадрату высоты от вершины: \(S = S_0 \left(\frac{h}{H}\right)^2\).

Для площадей сечений \(1\) и \(2\) находим высоты:

\(1 = 3 \left(\frac{h_1}{3}\right)^2 \Rightarrow h_1 = \sqrt{3}\),

\(2 = 3 \left(\frac{h_2}{3}\right)^2 \Rightarrow h_2 = \sqrt{6}\).

Объём части между сечениями равен разности объёмов меньших пирамид:

\(V_{между} = V \left(\left(\frac{h_2}{H}\right)^3 — \left(\frac{h_1}{H}\right)^3\right)\).

Подставляем значения:

\(V_{между} = 3 \left(\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 — \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3\right) = 3 \left(\frac{2 \sqrt{6}}{9} — \frac{\sqrt{3}}{9}\right) = \frac{2 \sqrt{6} — \sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(V_{между} = \frac{2 \sqrt{6} — \sqrt{3}}{3}\) см³.

Объём пирамиды выражается формулой \(V = \frac{1}{3} S_0 H\), где \(S_0\) — площадь основания, а \(H\) — высота. Подставляя известные значения \(V = 3\) и \(S_0 = 3\), получаем уравнение \(3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot H\). Упростив, получаем \(3 = H\), то есть высота пирамиды равна 3 см.

Площадь сечения пирамиды, сделанного параллельно основанию, изменяется пропорционально квадрату расстояния от вершины. Если \(h\) — высота сечения от вершины, то площадь сечения равна \(S = S_0 \left(\frac{h}{H}\right)^2\). Для заданных площадей сечений 1 см² и 2 см² составляем уравнения: \(1 = 3 \left(\frac{h_1}{3}\right)^2\) и \(2 = 3 \left(\frac{h_2}{3}\right)^2\). Решая их, находим \(h_1 = \sqrt{3}\) и \(h_2 = \sqrt{6}\).

Объём части пирамиды между двумя сечениями равен разности объёмов меньших пирамид с высотами \(h_2\) и \(h_1\). Объём меньшей пирамиды пропорционален кубу её высоты, то есть \(V_{мал} = V \left(\frac{h}{H}\right)^3\). Следовательно, искомый объём равен \(V_{между} = V \left(\left(\frac{h_2}{H}\right)^3 — \left(\frac{h_1}{H}\right)^3\right)\). Подставляя числа, получаем \(V_{между} = 3 \left(\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 — \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3\right)\). Вычисляя степени, получаем \( \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 = \frac{2 \sqrt{6}}{9}\) и \( \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{3}}{9}\). Итоговый объём равен \(V_{между} = 3 \cdot \frac{2 \sqrt{6} — \sqrt{3}}{9} = \frac{2 \sqrt{6} — \sqrt{3}}{3}\) см³.