ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до противоположной боковой грани равно \(d\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим объём пирамиды \(V\).

Формула объёма: \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота.

Из треугольника \(edk\) по определению синуса: \(\sin \alpha = \frac{el}{ed}\), откуда \(ed = \frac{el}{\sin \alpha}\).

Длина ребра основания: \(ed = \frac{d \cdot 2}{\sqrt{3} \sin \alpha}\).

Площадь основания равностороннего треугольника:

<table>
<tr><td>\(S = \frac{d^2 \cdot 4}{3 \sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} d^2}{3 \sin^2 \alpha}\)</td></tr>
</table>

Высота пирамиды: \(h = \frac{d}{3 \cos \alpha}\).

Подставляем в формулу объёма:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} d^2}{3 \sin^2 \alpha} \cdot \frac{d}{3 \cos \alpha} = \frac{d^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \alpha \cos \alpha}\).

Ответ: \(V = \frac{d^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \alpha \cos \alpha}\).

Объём пирамиды \(V\) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. В задаче основание пирамиды — равносторонний треугольник, и нам нужно выразить его сторону через заданные параметры. Для этого рассмотрим треугольник \(edk\), где угол \(\alpha\) дан, и в нём можно применить тригонометрические соотношения. По определению синуса в этом треугольнике имеем \(\sin \alpha = \frac{el}{ed}\), откуда длина ребра основания \(ed\) выражается как \(ed = \frac{el}{\sin \alpha}\).

Далее, учитывая, что \(el = \frac{2d}{\sqrt{3}}\), подставляем это в выражение для \(ed\) и получаем \(ed = \frac{2d}{\sqrt{3} \sin \alpha}\). Это даёт нам длину стороны основания пирамиды через известные параметры \(d\) и угол \(\alpha\). Теперь можно найти площадь основания пирамиды, которая является равносторонним треугольником со стороной \(ed\). Формула площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} ed^2\). Подставляя выражение для \(ed\), получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2d}{\sqrt{3} \sin \alpha}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4 d^2}{3 \sin^2 \alpha} = \frac{\sqrt{3} d^2}{3 \sin^2 \alpha}\).

Для вычисления высоты пирамиды \(h\) используем отношение высоты к длине ребра \(el\). Высота равна \(h = \frac{el}{3 \cos \alpha}\), и подставляя \(el = d\), получаем \(h = \frac{d}{3 \cos \alpha}\). Теперь, имея выражения для площади основания \(S\) и высоты \(h\), подставляем их в формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} d^2}{3 \sin^2 \alpha} \cdot \frac{d}{3 \cos \alpha} = \frac{d^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \alpha \cos \alpha}\). Таким образом, объём пирамиды выражается через \(d\) и угол \(\alpha\) формулой \(V = \frac{d^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \alpha \cos \alpha}\).