ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S h \), где \( S \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \( S = a^2 \).

Для нахождения высоты используем двугранный угол \( \alpha \) при боковом ребре. Тогда объём выражается формулой

\( V = \frac{a^3 \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{6 \sqrt{1 — \cos^2 \alpha}} \).

Объём пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. В данном случае основание — правильный четырёхугольник со стороной \( a \), значит площадь основания равна \( S = a^2 \).

Для нахождения высоты \( h \) нужно учесть двугранный угол \( \alpha \) при боковом ребре пирамиды. Этот угол определяет наклон боковой грани относительно основания. Высота пирамиды связана с этим углом через тригонометрические функции, поскольку боковое ребро и высота образуют треугольник, в котором можно выразить высоту через сторону основания и угол \( \alpha \).

Используя геометрические соотношения, объём пирамиды можно записать как \( V = \frac{a^3 \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{6 \sqrt{1 — \cos^2 \alpha}} \). Здесь числитель содержит произведение куба стороны основания и косинуса половины двугранного угла, а знаменатель — выражение через синус двугранного угла, так как \( \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sin \alpha \). Эта формула учитывает форму и наклон боковых граней, что позволяет точно вычислить объём правильной четырёхугольной пирамиды с заданным двугранным углом.