ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной пирамиды равна \(H\), а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S \cdot h\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота.

Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Из условия и рисунка следует, что объём можно выразить через высоту \(H\) и двугранный угол \(\alpha\) при боковом ребре:

\(V = \frac{H^3 \sqrt{3}}{4} \left(3 \tan^2 \frac{\alpha}{2} — 1 \right)\).

Для вычисления объёма правильной треугольной пирамиды необходимо сначала вспомнить основную формулу объёма пирамиды: \(V = \frac{1}{3} S \cdot h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. В данном случае основание — правильный треугольник, а высота \(h\) известна и равна \(H\).

Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) выражается формулой \(S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Чтобы найти объём через высоту \(H\) и двугранный угол \(\alpha\), нужно связать сторону основания с этими величинами. Двугранный угол при боковом ребре пирамиды влияет на наклон боковых граней и, следовательно, на длину стороны основания. Через геометрические построения и тригонометрию можно вывести, что сторона основания связана с высотой и углом по формуле, включающей тангенс половины угла \(\alpha\).

В итоге, объём пирамиды выражается формулой \(V = \frac{H^{3} \sqrt{3}}{4} \left(3 \tan^{2} \frac{\alpha}{2} — 1 \right)\). Здесь выражение в скобках учитывает изменение площади основания в зависимости от угла \(\alpha\), а множитель \(H^{3}\) возникает из того, что длина стороны основания пропорциональна высоте, и объём зависит от куба высоты. Таким образом, используя высоту пирамиды и двугранный угол при боковом ребре, можно однозначно определить её объём.