ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и углом \(\alpha\) при основании. Боковая грань пирамиды, содержащая основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости этого треугольника, а две другие грани наклонены к ней под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляем по формуле \( V = \frac{1}{3} S \cdot h \), где \( S \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Площадь основания \( \triangle ABC \):

\( S = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha \), так как угол при основании равен \( \alpha \), а угол в вершине треугольника \( \angle B = 180^\circ — 2\alpha \).

Высота пирамиды выражается через наклонные грани, которые образуют угол \( \beta \) с перпендикулярной гранью. Высота равна \( h = \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta \).

Подставляем в формулу объёма:

\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta = \frac{1}{12} a^3 \sin^2 2\alpha \tan \beta \).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S \cdot h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. В данной задаче основание пирамиды — треугольник с равными боковыми сторонами длины \( a \) и углом при основании \( \alpha \). Чтобы найти площадь основания, рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \) с двумя сторонами \( a \) и углом между ними \( 2\alpha \). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha \), так как площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Высота пирамиды связана с углом наклона боковых граней к перпендикулярной грани, который равен \( \beta \). Высота \( h \) равна расстоянию от вершины пирамиды до плоскости основания. Если представить, что боковые грани наклонены под углом \( \beta \), то высоту можно выразить через сторону основания и угол \( \alpha \). Высота равна \( h = \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta \), где \( \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \) — это расстояние от центра основания до вершины основания, а \( \tan \beta \) учитывает наклон боковой грани, преобразующий это расстояние в высоту.

Подставляя найденные выражения площади основания и высоты в формулу объёма, получаем \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta \). Упрощая, получаем \( V = \frac{1}{12} a^{3} \sin^{2} 2\alpha \tan \beta \). Таким образом, объём пирамиды выражается через длину боковой стороны \( a \), угол при основании \( \alpha \) и угол наклона боковых граней \( \beta \).