ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Боковая грань пирамиды, содержащая большую сторону основания, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\).

Площадь основания \(S\) равна площади прямоугольного треугольника:
\(S = \frac{1}{2} a \cdot BC\).

Сторону \(BC\) найдём из тангенса угла \(\alpha\):
\(BC = a \tan \alpha\)

Подставляем в площадь:
\(S = \frac{1}{2} a \cdot a \tan \alpha = \frac{a^2 \tan \alpha}{2}\).

Высота \(h\) выражается через угол \(\beta\) и другие параметры:
\(h = \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos (45^\circ — \alpha)}\).

Подставляем всё в формулу объёма:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \cdot \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos (45^\circ — \alpha)}\).

Упрощая, получаем:
\(V = \frac{a^3 \sqrt{2} \sin \alpha \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos (45^\circ — \alpha)}\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды, перпендикулярная основанию. В данном случае основание — прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и углом \(\alpha\). Для нахождения площади основания необходимо определить длины обеих катетов. Один катет задан — это \(a\). Другой катет \(BC\) можно выразить через угол \(\alpha\), используя тригонометрическое отношение тангенса: \(\tan \alpha = \frac{BC}{a}\). Отсюда следует, что \(BC = a \tan \alpha\). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, значит \(S = \frac{1}{2} a \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot a \tan \alpha = \frac{a^{2} \tan \alpha}{2}\).

Высота пирамиды \(h\) определяется из условия перпендикулярности боковой грани с большей стороной основания к основанию. Для этого учитывается угол \(\beta\) между высотой и плоскостью основания, а также геометрические соотношения, связанные с углом \(\alpha\). Высота выражается формулой \(h = \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos (45^\circ — \alpha)}\). Здесь \(\sqrt{2}\) появляется из соотношений между сторонами и диагоналями в прямоугольном треугольнике и его проекциях, а \(\cos (45^\circ — \alpha)\) учитывает сдвиг угла для правильного вычисления высоты в трёхмерном пространстве.

Подставляя выражения площади основания и высоты в формулу объёма, получаем:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \tan \alpha}{2} \cdot \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos (45^\circ — \alpha)}\).
Упрощая произведение, получаем:
\(V = \frac{a^{3} \sqrt{2} \sin \alpha \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos (45^\circ — \alpha)}\).
Таким образом, объём пирамиды выражается через заданные параметры \(a\), \(\alpha\), \(\beta\) с использованием основных тригонометрических функций и учитывает геометрические особенности фигуры.