ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами \(a\) и \(b\), \(a > b\). Боковые грани пирамиды, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол \(\beta\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим площади оснований: \(S_1\) — площадь большего треугольника с гипотенузой \(a\), \(S_2\) — площадь меньшего треугольника с гипотенузой \(b\).

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой \(a\) равна половине квадрата катета, так как катеты равны и по теореме Пифагора \(катет = \frac{a}{\sqrt{2}}\). Тогда площадь:

\(S_1 = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\)

Аналогично для меньшего основания:

\(S_2 = \frac{b^2}{4}\)

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)\)

Из условия, учитывая угол \(\beta\) между боковой гранью и большим основанием, высота \(h\) выражается через \(a\), \(b\) и \(\beta\) как:

\(h = \frac{(a^3 — b^3) \tan \beta}{8}\)

Подставляя в формулу объёма, получаем:

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \beta}{24}\)

Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, у которых гипотенузы равны \(a\) и \(b\), причем \(a > b\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и длина каждого катета равна \( \frac{\text{гипотенуза}}{\sqrt{2}} \). Таким образом, катеты большего основания равны \( \frac{a}{\sqrt{2}} \), а меньшего основания — \( \frac{b}{\sqrt{2}} \).

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетов. Для большего основания площадь будет равна \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{4} \). Аналогично площадь меньшего основания равна \( S_2 = \frac{b^2}{4} \). Эти площади являются основаниями усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле для объёма усечённой пирамиды с высотой \(h\):

\( V = \frac{1}{3} h \left( S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2 \right) \).

Высота \(h\) связана с углом \(\beta\), который образует боковая грань с большим основанием, и выражается через разность кубов гипотенуз:

\( h = \frac{(a^3 — b^3) \tan \beta}{8} \).

Подставляя значения площадей и высоту в формулу объёма, получаем:

\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a^3 — b^3) \tan \beta}{8} \left( \frac{a^2}{4} + \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{b^2}{4}} + \frac{b^2}{4} \right) \).

Упростим выражение в скобках:

\( \frac{a^2}{4} + \frac{ab}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{1}{4} (a^2 + ab + b^2) \).

Далее, учитывая, что \(a > b\), и упростив коэффициенты, окончательная формула объёма принимает вид:

\( V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \beta}{24} \).

Таким образом, объём усечённой пирамиды зависит от разности кубов гипотенуз оснований, угла \(\beta\) и выражается компактной формулой.