ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами \(a\) и \(b\), \(a > b\). Одна из боковых граней пирамиды является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, а противолежащая ей грань образует с большим основанием угол \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Высота усечённой пирамиды равна \(h = (a — b) \tan \alpha\), так как боковая грань перпендикулярна основаниям и является равнобокой трапецией.

Объём вычисляется по формуле \(V = \frac{h}{3} (a^2 + ab + b^2)\), где \(a^2\) и \(b^2\) — площади оснований, а \(ab\) учитывает среднюю площадь.

Подставляя \(h\), получаем \(V = \frac{(a — b) \tan \alpha}{3} (a^2 + ab + b^2) = \frac{a^3 — b^3}{3} \tan \alpha\).

Рассмотрим усечённую пирамиду с основаниями квадратной формы со сторонами \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Высота пирамиды обозначим через \(h\). Из условия известно, что боковая грань является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям. Это означает, что высота усечённой пирамиды совпадает с высотой этой боковой трапеции. Высоту трапеции можно выразить через разность оснований и угол наклона боковой грани к основанию, то есть \(h = (a — b) \tan \alpha\).

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле, которая является обобщением объёма пирамиды и учитывает два основания: \(V = \frac{h}{3} (a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a^2\) и \(b^2\) — площади верхнего и нижнего квадратных оснований соответственно, а произведение \(ab\) учитывает площадь средней части между ними. Умножение на \(\frac{h}{3}\) даёт итоговый объём усечённой пирамиды.

Подставим значение высоты \(h\) в формулу объёма: \(V = \frac{(a — b) \tan \alpha}{3} (a^2 + ab + b^2)\). Раскроем скобки: \((a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3\), что является разностью кубов. В итоге получаем окончательную формулу объёма усечённой пирамиды: \(V = \frac{a^3 — b^3}{3} \tan \alpha\).