ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды — правильные треугольники со сторонами \(a\) и \(b\), \(a > b\). Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основаниям, а две другие образуют с большим основанием угол \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим высоту усечённой пирамиды через \(H\). Одна боковая грань перпендикулярна основаниям, значит \(H\) — длина ребра этой грани.

Площадь правильного треугольника со стороной \(x\) равна \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2\).

Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов двух правильных треугольных пирамид:

\(V = \frac{H}{3} \left(S(a) — S(b)\right) = \frac{H}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 — b^2)\).

Из условия углов между гранями и основанием получаем \(H = \frac{a — b}{2 \sqrt{3}} \tan \alpha\).

Подставляя \(H\) в формулу объёма и упрощая, получаем

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \alpha}{16}\).

Усечённая пирамида образована двумя правильными треугольниками с основаниями сторон \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Поскольку основания подобны, высоты соответствующих пирамид пропорциональны сторонам оснований. Высота усечённой пирамиды равна разности высот двух подобных пирамид с основаниями \(a\) и \(b\). Площадь правильного треугольника с длиной стороны \(x\) вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2\). Объём пирамиды с основанием \(S\) и высотой \(H\) равен \(V = \frac{1}{3} S H\).

Поскольку одна боковая грань перпендикулярна основаниям, высота усечённой пирамиды \(H\) совпадает с длиной ребра этой грани. Две другие боковые грани образуют с большим основанием угол \(\alpha\), что позволяет связать высоту \(H\) с разницей сторон оснований \(a — b\) и углом \(\alpha\). Из геометрии треугольника, образованного ребрами пирамиды, следует, что \(H = \frac{a — b}{2 \sqrt{3}} \tan \alpha\).

Объём усечённой пирамиды находится как разность объёмов двух правильных треугольных пирамид с основаниями \(a\) и \(b\) и высотами, соответствующими этим основаниям. Подставляя выражения площадей и высоты, получаем \(V = \frac{H}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 — b^2)\). После подстановки значения \(H\) и упрощения формулы возникает выражение \(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \alpha}{16}\), которое и является искомым объёмом усечённой пирамиды.