ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Деревянный куб, ребро которого равно 12 см, распилили на две части: треугольную пирамиду и семигранник (рис. 19.11). Найдите объём семигранника, если плоскость распила проходит через середины трёх рёбер куба, имеющих общую вершину.

Объём куба с ребром 12 см равен \( V = 12^3 = 1728 \) см³.

Плоскость распила проходит через середины трёх рёбер с общей вершиной, образуя треугольную пирамиду.

Объём треугольной пирамиды равен \( V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{48} \times 1728 = 36 \) см³.

Объём семигранника равен разности объёмов куба и пирамиды: \( V_{\text{семигранник}} = 1728 — 36 = 1692 \) см³.

Объём исходного куба с длиной ребра 12 см вычисляется по формуле \( V = a^{3} \), где \( a = 12 \). Подставляя значение, получаем \( V = 12^{3} = 1728 \) см³. Это полный объём фигуры до распила.

Плоскость распила проходит через середины трёх рёбер, выходящих из одной общей вершины куба. Эти три точки делят рёбра пополам и образуют треугольник, который служит основанием треугольной пирамиды. Высота пирамиды совпадает с расстоянием от общей вершины до плоскости, на которой лежит треугольник из середины рёбер. Объём такой пирамиды составляет определённую долю от объёма куба. Точная доля равна \( \frac{1}{48} \) от объёма куба, что можно получить, рассмотрев координаты точек и вычислив объём через векторное произведение.

Вычислим объём пирамиды: \( V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{48} \times 1728 = 36 \) см³. После распила остаётся семигранник, объём которого равен разности объёмов исходного куба и треугольной пирамиды, то есть \( V_{\text{семигранник}} = 1728 — 36 = 1692 \) см³. Таким образом, распил уменьшил объём исходного куба на 36 см³, оставив семигранник объёмом 1692 см³.