ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площади двух граней тетраэдра равны \(S_1\) и \(S_2\). Их общее ребро равно \(a\), а двугранный угол тетраэдра при этом ребре равен \(\alpha\). Докажите, что объём \(V\) данного тетраэдра можно вычислить по формуле \(V = \frac{1}{3} S_1 h\)

Обозначим объём тетраэдра через \(V\), площади граней через \(S_1\) и \(S_2\), общее ребро через \(a\), двугранный угол при этом ребре через \(\alpha\).

Объём тетраэдра равен \(V = \frac{1}{3} S_1 h\), где \(h\) — высота, проведённая к грани с площадью \(S_1\).

Высота \(h\) равна проекции высоты второй грани на направление, перпендикулярное первой грани, то есть \(h = h_2 \sin \alpha\), где \(h_2\) — высота треугольника второй грани, опущенная на общее ребро.

Площадь второй грани выражается как \(S_2 = \frac{1}{2} a h_2\), откуда \(h_2 = \frac{2 S_2}{a}\).

Подставляем \(h\) в формулу объёма:

\(V = \frac{1}{3} S_1 \cdot \frac{2 S_2}{a} \sin \alpha = \frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{3 a}\).

Рассмотрим тетраэдр, у которого две грани имеют площади \(S_1\) и \(S_2\), а общее ребро между этими гранями равно \(a\). При этом двугранный угол между этими гранями равен \(\alpha\). Нам нужно выразить объём тетраэдра через эти величины.

Объём тетраэдра можно представить через площадь одной из граней и высоту, опущенную на эту грань. Пусть высота, проведённая к грани с площадью \(S_1\), равна \(h\). Тогда объём равен \(V = \frac{1}{3} S_1 h\). Чтобы найти \(h\), рассмотрим вторую грань с площадью \(S_2\). Эта грань является треугольником с основанием равным общему ребру \(a\) и высотой \(h_2\), проведённой на это ребро. Тогда площадь второй грани выражается как \(S_2 = \frac{1}{2} a h_2\), откуда высота \(h_2 = \frac{2 S_2}{a}\).

Высота \(h\), проведённая к первой грани, связана с высотой \(h_2\) второй грани и двугранным углом \(\alpha\). Поскольку двугранный угол — это угол между плоскостями граней, высота \(h\) равна проекции \(h_2\) на направление, перпендикулярное грани с площадью \(S_1\). Эта проекция равна \(h = h_2 \sin \alpha\). Подставляя \(h_2\), получаем \(h = \frac{2 S_2}{a} \sin \alpha\). Теперь подставим это выражение в формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} S_1 \cdot \frac{2 S_2}{a} \sin \alpha\).

Таким образом, окончательная формула для объёма тетраэдра через площади двух граней, общее ребро и двугранный угол имеет вид \(V = \frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{3 a}\). Эта формула показывает, что объём пропорционален произведению площадей граней и синусу двугранного угла, и обратно пропорционален длине общего ребра.