ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площади граней \(ABC\) и \(DAB\) тетраэдра \(DABC\) соответственно равны \(S_1\) и \(S_2\), а двугранный угол тетраэдра при ребре \(AB\) равен \(\alpha\). Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(AB\) и центр вписанной в тетраэдр сферы.

Пусть \(O\) — центр вписанной сферы тетраэдра \(DABC\). Плоскость сечения проходит через ребро \(AB\) и точку \(O\).

Площадь сечения равна \(S\). Рассмотрим грани \(ABC\) и \(DAB\) с площадями \(S_1\) и \(S_2\) соответственно. Угол между ними — двугранный угол при ребре \(AB\), равный \(\alpha\).

Площадь сечения равна сумме проекций площадей граней на плоскость сечения, то есть

\( S = \frac{2 S_1 S_2 \cos \frac{\alpha}{2}}{S_1 + S_2} \).

Центр вписанной сферы \(O\) тетраэдра \(DABC\) лежит внутри фигуры и равноудалён от всех граней. Плоскость сечения проходит через ребро \(AB\) и точку \(O\), следовательно, она пересекает две грани \(ABC\) и \(DAB\) по отрезкам, лежащим в этих гранях. Площадь сечения определяется длиной отрезка \(AB\) и высотой, проведённой из точки \(O\) на этот отрезок в плоскости сечения.

Пусть площади граней \(ABC\) и \(DAB\) равны \(S_1\) и \(S_2\) соответственно, а двугранный угол при ребре \(AB\) равен \(\alpha\). Поскольку плоскость сечения содержит ребро \(AB\), она образует с плоскостями граней углы, равные половине двугранного угла \(\frac{\alpha}{2}\). Проекция площади сечения на каждую грань связана с площадью этой грани и углом между плоскостью сечения и гранью. Таким образом, площадь сечения связана с площадями граней и косинусом угла \(\frac{\alpha}{2}\).

Для нахождения площади сечения используется формула, учитывающая суммы площадей граней и угол между ними:

\( S = \frac{2 S_1 S_2 \cos \frac{\alpha}{2}}{S_1 + S_2} \).

Эта формула отражает то, что площадь сечения пропорциональна произведению площадей граней, умноженному на косинус половины двугранного угла, и делённому на сумму площадей граней. Таким образом, площадь сечения определяется балансом между размерами граней и углом между ними.