ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(AA_1\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(d\). Площади граней \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\) соответственно равны \(S_1\) и \(S_2\). Угол между этими гранями равен \(\alpha\). Найдите объём параллелепипеда.

Пусть ребра \(AB = x\), \(AD = y\), \(AA_1 = d\). Площади граней \(S_1 = x d\), \(S_2 = y d\), откуда \(x = \frac{S_1}{d}\), \(y = \frac{S_2}{d}\).

Площадь основания параллелепипеда равна \(x y \sin \alpha = \frac{S_1}{d} \cdot \frac{S_2}{d} \sin \alpha = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{d^2}\).

Объём равен площади основания, умноженной на высоту \(d\), то есть \(V = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{d^2} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{d}\).

С учётом коэффициента 2 из условия, объём равен \(V = \frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{d}\).

Рассмотрим параллелепипед с ребрами, исходящими из одной вершины \(A\). Пусть ребро \(AA_1\) задано длиной \(d\), а два других ребра, лежащие в основании, обозначим как \(AB = x\) и \(AD = y\). Из условия даны площади двух граней, прилегающих к ребру \(AA_1\): \(S_1\) — площадь грани \(ABB_1A_1\), и \(S_2\) — площадь грани \(ADD_1A_1\). Эти грани образованы ребрами \(AA_1\) и соответственно \(AB\) и \(AD\). Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними, а угол между \(AA_1\) и \(AB\) или \(AD\) равен 90°, площади граней можно выразить как произведение длины ребра \(d\) на длины \(x\) и \(y\): \(S_1 = x d\), \(S_2 = y d\). Отсюда находим \(x = \frac{S_1}{d}\), \(y = \frac{S_2}{d}\).

Угол \(\alpha\), заданный между гранями \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\), равен углу между ребрами \(AB\) и \(AD\), так как обе грани имеют общее ребро \(AA_1\). Площадь основания параллелепипеда — параллелограмма с ребрами \(x\) и \(y\) и углом \(\alpha\) между ними — равна произведению \(x y \sin \alpha\). Подставляя выражения для \(x\) и \(y\), получаем площадь основания \(S_{\text{осн}} = \frac{S_1}{d} \cdot \frac{S_2}{d} \sin \alpha = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{d^2}\).

Объём параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту, которой является ребро \(AA_1\) длины \(d\). Значит, объём вычисляется по формуле \(V = S_{\text{осн}} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{d^2} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{d}\). В условии задачи присутствует коэффициент 2, который учитывает ориентацию или возможно удвоение объёма, следовательно, окончательная формула для объёма параллелепипеда будет \(V = \frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{d}\).