ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(AB\) тетраэдра \(DABC\) равно \(a\). Точка \(M\) — середина ребра \(CD\). Плоскость \(AMB\) образует с плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Площадь треугольника \(AMB\) равна \(S\). Найдите объём тетраэдра \(DABC\).

Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) с ребром \(AB = a\) и точкой \(M\) — серединой ребра \(CD\). Плоскость \(AMB\) образует углы \(\alpha\) и \(\beta\) с плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) соответственно.

Площадь треугольника \(AMB\) равна \(S\). Используя углы между плоскостями, можно выразить высоту тетраэдра через площадь \(S\), длину ребра \(a\) и углы \(\alpha\), \(\beta\).

Объём тетраэдра \(V\) находится по формуле

\(V = \frac{8 S^2 \sin \alpha \sin \beta}{3 a \sin(\alpha + \beta)}\).

Эта формула учитывает геометрические соотношения между плоскостями и заданными углами, связывая площадь \(S\) и ребро \(a\) с объёмом тетраэдра.

Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) с ребром \(AB = a\) и точкой \(M\), являющейся серединой ребра \(CD\). Плоскость \(AMB\) проходит через точки \(A\), \(M\) и \(B\). По условию эта плоскость образует углы \(\alpha\) и \(\beta\) с плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) соответственно. Эти углы позволяют связать ориентацию плоскости \(AMB\) с двумя соседними гранями тетраэдра, что важно для вычисления объёма.

Площадь треугольника \(AMB\) равна \(S\). Так как \(M\) — середина ребра \(CD\), то вектор \(CM\) равен половине вектора \(CD\). Это позволяет выразить координаты точки \(M\) через координаты вершин \(C\) и \(D\), что упрощает вычисление векторов, лежащих в плоскости \(AMB\). Углы \(\alpha\) и \(\beta\) между плоскостью \(AMB\) и плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) задают наклон плоскости \(AMB\) относительно оснований тетраэдра, что влияет на высоту, используемую при вычислении объёма.

Объём тетраэдра \(V\) можно выразить через площадь \(S\), длину ребра \(a\) и углы \(\alpha\), \(\beta\) по формуле \(V = \frac{8 S^{2} \sin \alpha \sin \beta}{3 a \sin(\alpha + \beta)}\). Здесь числитель отражает зависимость объёма от площади треугольника \(AMB\) и синусов углов, а знаменатель учитывает длину ребра \(a\) и сумму углов \(\alpha + \beta\), что связано с пространственным расположением плоскостей. Эта формула позволяет вычислить объём тетраэдра, используя заданные параметры и учитывая геометрические взаимосвязи между плоскостями.