ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Объём призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равен \(V\). На боковых рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM = MA_1\) и \(BN : NB_1 = 1 : 2\). Найдите объём многогранника \(MNCA_1B_1C_1\).

Объём призмы равен \(V\).

Точка \(M\) делит ребро \(AA_1\) пополам, значит высота по этому ребру уменьшается в 2 раза.

Точка \(N\) делит ребро \(BB_1\) в отношении \(1:2\), значит высота уменьшается в \(\frac{1}{3}\).

Объём многогранника пропорционален произведению этих долей и исходного объёма:

\(V_{многогранника} = V \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + V \cdot \frac{1}{3} = \frac{13V}{18}\).

Ответ: \( \frac{13V}{18} \).

Объём призмы обозначим как \(V\). Рассмотрим, как точки \(M\) и \(N\), расположенные на рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) соответственно, влияют на формирование многогранника \(MNCA_1B_1C_1\) и его объём. Поскольку \(M\) делит ребро \(AA_1\) пополам, длина отрезка \(AM\) равна половине длины ребра \(AA_1\), то есть \(AM = \frac{1}{2} AA_1\). Это означает, что высота призмы по этому ребру уменьшается в 2 раза при переходе к точке \(M\).

Точка \(N\) делит ребро \(BB_1\) в отношении \(1 : 2\), то есть отрезок \(BN\) составляет треть длины ребра \(BB_1\), а именно \(BN = \frac{1}{3} BB_1\). Это уменьшает высоту призмы по этому ребру до трети. Таким образом, многогранник \(MNCA_1B_1C_1\) ограничен плоскостями, проходящими через точки, которые делят рёбра призмы на определённые пропорции, что влияет на его объём.

Объём искомого многогранника можно выразить как произведение исходного объёма призмы \(V\) на произведение долей, соответствующих отрезкам \(AM\) и \(BN\), с учётом геометрической структуры фигуры. Формула для объёма будет выглядеть так: \(V_{многогранника} = V \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + V \cdot \frac{1}{3} = \frac{13V}{18}\). Это даёт итоговый объём многогранника равный \(\frac{13V}{18}\).