ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На боковых рёбрах \(BB_1\) и \(CC_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что плоскость \(AMK\) делит данную призму на два равновеликих многогранника. Найдите отношение \(CK : KC_1\), если \(BM : MB_1 = 2 : 1\).

Пусть призма прямая, боковые рёбра параллельны и одинаковой длины. Объём сечения плоскостью через вершину \(A\) и точки на рёбрах \(BB_1\) и \(CC_1\) зависит линейно от долей, в которых эти точки делят соответствующие рёбра.

Так как плоскость \(AMK\) делит объём призмы пополам, доли на параллельных рёбрах должны совпадать. Дано \(BM:MB_1=2:1\), значит точка \(M\) берёт долю \(\frac{2}{3}\) от \(B\) к \(B_1\). Следовательно, точка \(K\) на \(CC_1\) должна делить ребро в той же доле: \(CK:KC_1=2:1\).

Ответ: \(2:1\).

Рассмотрим призму \(ABCA_1B_1C_1\) с параллельными и равными по длине боковыми рёбрами. Пусть на ребре \(BB_1\) точка \(M\) делит его в отношении \(BM:MB_1=2:1\), то есть доля от начала ребра \(B\) до точки \(M\) равна \(\frac{2}{3}\) длины \(BB_1\). Плоскость \(AMK\) проходит через вершину \(A\) основания и пересекает два боковых ребра \(BB_1\) и \(CC_1\). В таких призмах сечения плоскостями, опирающимися на вершину основания и точки на параллельных боковых рёбрах, формируют линейное распределение высот: доля, в которой точка на одном ребре берётся от нижнего основания, должна совпадать с долей на любом другом параллельном ребре, чтобы объёмы по разные стороны от плоскости были равны.

Это линейное соответствие можно объяснить через усреднение высоты по параллельным сечениям. Для произвольной точки основания \(X\) отрезок \(XX_1\) параллелен \(BB_1\) и \(CC_1\), а пересечение плоскости \(AMK\) с плоскостью, содержащей \(XX_1\), даёт точку на \(XX_1\), расположенную на той же относительной высоте, что и точка на \(BB_1\). Поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а высота, «отсекаемая» плоскостью, изменяется линейно по основанию, равенство объёмов по обе стороны от плоскости достигается тогда и только тогда, когда относительная высота сечения одинакова на всех параллельных рёбрах. Следовательно, если на ребре \(BB_1\) точка \(M\) расположена на высоте \(\frac{2}{3}\) от нижнего основания, то на ребре \(CC_1\) точка \(K\) должна иметь ту же относительную высоту \(\frac{2}{3}\).

Перейдём к требуемому отношению. Раз точка \(K\) делит \(CC_1\) на той же доле, что и \(M\) делит \(BB_1\), то \(CK:KC_1=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2:1\). Таким образом, при условии \(BM:MB_1=2:1\) и требовании, чтобы плоскость \(AMK\) делила призму на два равновеликих многогранника, получаем искомое отношение \(CK:KC_1=2:1\).