ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что объём тетраэдра в три раза меньше объёма описанного около него параллелепипеда.

Рассмотрим тетраэдр, вписанный в параллелепипед так, что у них совпадают площадь основания \(S\) и высота \(h\). По формуле объемов: объём параллелепипеда равен \(V_{\text{пар}}=S\cdot h\).

Объём тетраэдра с тем же основанием и высотой равен \(V_{\text{тетр}}=\frac{1}{3}S\cdot h\).

Следовательно, \(V_{\text{тетр}}=\frac{1}{3}V_{\text{пар}}\), то есть объём тетраэдра в три раза меньше объёма описанного параллелепипеда.

Рассмотрим тетраэдр и параллелепипед, у которых совпадают площадь основания \(S\) и высота \(h\). Для произвольного параллелепипеда объем определяется как произведение площади его основания на высоту, то есть \(V_{\text{пар}}=S\cdot h\). Это следует из общего принципа: если фигура имеет постоянную площадь сечения, параллельного основанию, то объем равен площади основания, умноженной на расстояние между параллельными плоскостями, то есть на высоту. Здесь основание параллелепипеда — произвольный многоугольник с площадью \(S\), а высота \(h\) — перпендикуляр между двумя параллельными гранями.

Для тетраэдра с тем же основанием и высотой используется классическая формула объема пирамиды: объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Следовательно, для тетраэдра имеем \(V_{\text{тетр}}=\frac{1}{3}S\cdot h\). Эта формула вытекает из разбиения призмы на три равных по объему пирамид или, в более общем виде, из интегрального подхода: линейное уменьшение площадей параллельных сечений в пирамиде приводит к коэффициенту \(\frac{1}{3}\).

Сопоставим найденные выражения: \(V_{\text{пар}}=S\cdot h\) и \(V_{\text{тетр}}=\frac{1}{3}S\cdot h\). Отношение объемов равно \( \frac{V_{\text{тетр}}}{V_{\text{пар}}}=\frac{\frac{1}{3}S\cdot h}{S\cdot h}=\frac{1}{3}\). Отсюда следует \(V_{\text{тетр}}=\frac{1}{3}V_{\text{пар}}\), то есть объем тетраэдра в три раза меньше объема параллелепипеда с той же площадью основания и высотой. Значение этого результата инвариантно относительно конкретной формы основания: важны только совпадающие \(S\) и \(h\), что обеспечивает универсальность вывода.