ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём равногранного тетраэдра, если его скрещивающиеся рёбра равны \(a\), \(b\) и \(c\).

Рассмотрим равногранный тетраэдр, у которого три попарно скрещивающиеся рёбра имеют длины \(a\), \(b\) и \(c\). Его объём выражается через смешанное произведение векторов рёбер, а равногранность приводит к симметричной форме через косинусы углов между скрещивающимися рёбрами. После устранения косинусов по тождествам закона косинусов для равных граней получаем формулу Герона–Кэли для объёма регулярного тетраэдра в терминах \(a\), \(b\), \(c\).

Итоговый объём равен \(V=\frac{\sqrt{2\,(a^{2}+b^{2}-c^{2})\,(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,(c^{2}+a^{2}-b^{2})}}{12}\).

Пусть в равногранном тетраэдре выбраны три попарно скрещивающиеся рёбра длинами \(a\), \(b\) и \(c\). Зафиксируем вершину \(A\) и проведём от неё три рёбра к вершинам \(B\), \(C\), \(D\), задав векторы \(\vec{AB}=\vec{u}\), \(\vec{AC}=\vec{v}\), \(\vec{AD}=\vec{w}\) с длинами \(a=\|\vec{u}\|\), \(b=\|\vec{v}\|\), \(c=\|\vec{w}\|\). Объём тетраэдра выражается через смешанное произведение как \(V=\frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|\). Квадрат объёма равен \(36V^{2}=\det G\), где \(G\) — грамова матрица векторов \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\): \(G=\begin{pmatrix}a^{2}&\vec{u}\!\cdot\!\vec{v}&\vec{u}\!\cdot\!\vec{w}\\ \vec{v}\!\cdot\!\vec{u}&b^{2}&\vec{v}\!\cdot\!\vec{w}\\ \vec{w}\!\cdot\!\vec{u}&\vec{w}\!\cdot\!\vec{v}&c^{2}\end{pmatrix}\). Поэтому ключевая задача — выразить скалярные произведения через \(a,b,c\).

Равногранность означает, что все четыре грани конгруэнтны. Рассмотрим грани, инцидентные вершине \(A\): треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) равны, следовательно, противолежащие им рёбра \(BC\), \(BD\), \(CD\) попарно равны. По закону косинусов в треугольнике \(ABC\) имеем \(BC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\angle CAB\), но тот же \(BC\) равен \(AD=c\) из равногранности, значит \(\cos\angle CAB=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\). Аналогично получаем \(\cos\angle BAC\) уже найден, а для других пар: \(\cos\angle DAB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\) и \(\cos\angle DAC=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\). Отсюда скалярные произведения выражаются как \(\vec{u}\!\cdot\!\vec{v}=ab\cos\angle CAB=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\), \(\vec{u}\!\cdot\!\vec{w}=ac\cos\angle DAB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}\), \(\vec{v}\!\cdot\!\vec{w}=bc\cos\angle DAC=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}\).

Подставим эти скалярные произведения в грамову матрицу и вычислим её определитель. Стандартным разложением или известной формулой для определителя такой симметричной матрицы получаем \(36V^{2}=\det G=\frac{1}{2}\,(a^{2}+b^{2}-c^{2})\,(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,(c^{2}+a^{2}-b^{2})\). Следовательно, \(V=\frac{1}{6}\sqrt{\det G}=\frac{1}{12}\sqrt{2\,(a^{2}+b^{2}-c^{2})\,(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,(c^{2}+a^{2}-b^{2})}\), что и даёт искомую компактную формулу для объёма равногранного тетраэдра через три скрещивающиеся рёбра.