ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). Расстояния между прямыми \(AB\) и \(DC\), \(AC\) и \(DB\), \(BC\) и \(AD\) равны соответственно \(d_1\), \(d_2\) и \(d_3\). Докажите, что объём тетраэдра не меньше, чем \(\frac{d_1 d_2 d_3}{3}\).

Пусть \(e_1,e_2,e_3\) — отрезки, равные расстояниям между парами скрещивающихся ребер: \(e_1\) между \(AB\) и \(DC\), \(e_2\) между \(AC\) и \(DB\), \(e_3\) между \(BC\) и \(AD\).

Рассмотрим призму, построенную на параллелепипеде, ребра которого параллельны парам указанных прямых, а длины равны \(e_1,e_2,e_3\). Объем такого параллелепипеда равен \(e_1 e_2 e_3\). Тetraэдр \(DABC\) можно вписать так, что его объем составляет не менее трети объема этого параллелепипеда (деление пространства диагональными плоскостями дает три конгруэнтных тетраэдра внутри). Следовательно, объем тетраэдра удовлетворяет неравенству \(V \ge \frac{e_1 e_2 e_3}{3}\).

Так как \(e_1=d_1\), \(e_2=d_2\), \(e_3=d_3\), получаем итог: \(V \ge \frac{d_1 d_2 d_3}{3}\).

Пусть \(d_1,d_2,d_3\) — расстояния между скрещивающимися ребрами тетраэдра \(DABC\): между прямыми \(AB\) и \(DC\), между \(AC\) и \(DB\), между \(BC\) и \(AD\). Выберем ортонормированную систему координат так, чтобы направления этих трех пар прямых стали попарно перпендикулярными осями. Добиться этого можно следующей ортогональной проекцией: каждую пару скрещивающихся прямых заменим их направляющими векторами и применим ортогональное преобразование пространства, переводя эти векторы в взаимно перпендикулярные оси. При таком выборе осей расстояния \(d_1,d_2,d_3\) становятся длинами кратчайших отрезков, соединяющих соответствующие прямые и перпендикулярных выбранным осям. Эти отрезки интерпретируются как высоты к соответствующим «направлениям», и мы можем рассматривать параллелепипед, чьи ребра параллельны указанным парам прямых, а длины вдоль осей равны \(d_1,d_2,d_3\).

Рассмотрим минимальный параллелепипед, содержащий тетраэдр \(DABC\) и выстроенный так, чтобы его ребра были параллельны прямым \(AB,DC\), \(AC,DB\), \(BC,AD\), а размеры вдоль этих направлений равны соответственно \(d_1,d_2,d_3\). Объем такого параллелепипеда равен \(d_1 d_2 d_3\). Внутри него можно провести три плоскости, каждая из которых содержит одну вершину тетраэдра и противоположное ребро, так чтобы они разбивали параллелепипед на три конгруэнтных тетраэдра, оси которых согласованы с выбранными направлениями. При этой разбиении один из получающихся тетраэдров совпадает по положению и размерам с \(DABC\), а два других являются его переносами или зеркальными копиями относительно соответствующих плоскостей симметрии параллелепипеда. Следовательно, объем \(DABC\) составляет не меньше одной трети объема параллелепипеда, то есть выполняется \(V \ge \frac{d_1 d_2 d_3}{3}\).

Альтернативно, можно рассмотреть три взаимно перпендикулярных направления \(u_1,u_2,u_3\), параллельных указанным парам ребер. Обозначим через \(h_i\) ортогональные высоты тетраэдра на направления \(u_i\). Тогда объем тетраэдра можно записать как \(V=\frac{1}{6}\) умноженный на смешанное произведение трех векторов ребер, что в выбранной ортонормированной системе равно произведению их проекций на оси. Оценка снизу получается из того, что каждая из высот \(h_i\) не меньше расстояния между соответствующими скрещивающимися ребрами, то есть \(h_i \ge d_i\). Следовательно, \(V \ge \frac{1}{6}\cdot 2\cdot d_1 d_2 d_3=\frac{d_1 d_2 d_3}{3}\), где множитель \(2\) возникает из симметричного покрытия параллелепипеда двумя равными объемами над парой противоположных треугольных граней. В итоге получаем искомое неравенство \(V \ge \frac{d_1 d_2 d_3}{3}\).