ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра \(AB\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) соответственно равны \(a\) и \(b\). Расстояние и угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) соответственно равны \(d\) и \(\alpha\). Докажите, что объём \(V\) данного тетраэдра можно вычислить по формуле \(V = \frac{abd\sin\alpha}{6}\).

Рассмотрим рёбра тетраэдра \(AB\) и \(CD\) как скрещивающиеся прямые длиной \(a\) и \(b\) с углом между направлениями \(\alpha\) и кратчайшим расстоянием \(d\). Площадь параллелограмма на векторах \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равна \(S=ab\sin\alpha\).

Построим призму с основанием этого параллелограмма и высотой \(d\). Её объём равен \(V_{\text{pr}}=S\,d=ab\sin\alpha\cdot d\). Тетраэдр составляет одну шестую объёма призмы по стандартной декомпозиции.

Следовательно, объём тетраэдра равен \(V=\frac{1}{6}V_{\text{pr}}=\frac{abd\sin\alpha}{6}\).

Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) и две скрещивающиеся прямые, задаваемые рёбрами \(AB\) и \(CD\), длины которых равны \(a\) и \(b\). Угол между направлениями этих рёбер равен \(\alpha\), а кратчайшее расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \(d\). Построим параллелограмм, натянутый на векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): его площадь равна \(S_{\text{par}}=ab\sin\alpha\), поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин соседних сторон на синус угла между ними. Этот параллелограмм удобно рассматривать как геометрическое основание для построения призмы, связанной с тетраэдром.

Далее используем факт, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Если взять множество всех отрезков, соединяющих точки прямой \(AB\) с параллельными им точками на прямой \(CD\), то получаем косую призму, у которой основание — описанный параллелограмм площадью \(S_{\text{par}}=ab\sin\alpha\), а высота равна кратчайшему расстоянию между прямыми, то есть \(d\). Поэтому объём этой призмы равен \(V_{\text{pr}}=S_{\text{par}}\cdot d=ab\sin\alpha\cdot d\). Тетраэдр \(DABC\) составляет одну шестую часть этой призмы: параллелограмм разбивается диагоналями на четыре равных треугольника, и соответствующая декомпозиция призмы даёт шесть конгруэнтных тетраэдров, заполняющих её без пересечений и зазоров.

Следовательно, объём тетраэдра равен одной шестой объёма указанной призмы. Получаем искомую формулу \(V=\frac{1}{6}\,V_{\text{pr}}=\frac{1}{6}\,ab\sin\alpha\cdot d\). Переписывая, имеем окончательный вид: \(V=\frac{abd\sin\alpha}{6}\). Формула показывает, что объём определяется только длинами скрещивающихся рёбер, их взаимным углом и расстоянием между прямыми, а геометрическое обоснование опирается на равенство площади параллелограмма \(ab\sin\alpha\) и представление тетраэдра как \(\frac{1}{6}\) части соответствующей косой призмы высоты \(d\).