ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро правильного тетраэдра \(DABC\) равно 4 см. На ребре \(AB\) отметили точки \(M\) и \(N\), а на ребре \(CD\) — точки \(K\) и \(E\). Известно, что \(MN = 1\) см, \(KE = 3\) см. Найдите объём тетраэдра \(MNKE\).

В правильном тетраэдре с ребром \(4\) любые отрезки на противоположных рёбрах \(AB\) и \(CD\) лежат на параллельных линиях; тетраэдр \(MNKE\) подобен тетраэдру, получающемуся из исходного гомотетией с центром в одной вершине и коэффициентом \(\frac{MN}{AB}=\frac{1}{4}\) вдоль ребра \(AB\) и \(\frac{KE}{CD}=\frac{3}{4}\) вдоль ребра \(CD\). Объём масштабируется как произведение трёх линейных коэффициентов, следовательно \(V_{MNKE}=V_{DABC}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{1}=\frac{3}{16}V_{DABC}\).

Объём правильного тетраэдра ребра \(a\): \(V=\frac{a^{3}}{6\sqrt{2}}\). При \(a=4\): \(V_{DABC}=\frac{64}{6\sqrt{2}}=\frac{32}{3\sqrt{2}}\). Тогда \(V_{MNKE}=\frac{3}{16}\cdot \frac{32}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\).

В правильном тетраэдре все рёбра равны и все грани — равносторонние треугольники, поэтому пары противоположных рёбер \(AB\) и \(CD\) симметричны и лежат в параллельных прямых в общей трёхмерной конфигурации. Отрезки \(MN\subset AB\) и \(KE\subset CD\) задают сечения, чьи вершины образуют малый тетраэдр \(MNKE\). Идея решения: объём любого тетраэдра в пределах данного правильного тетраэдра преобразуется при независимых линейных растяжениях вдоль трёх попарно независимых направлений с умножением объёма на произведение трёх соответствующих линейных коэффициентов. Здесь мы можем выбрать ортогональный базис, связанный, например, с тремя рёбрами, выходящими из одной вершины исходного тетраэдра, и представить построение \(MNKE\) как результат аффинного преобразования исходного тетраэдра, в котором вдоль направления ребра \(AB\) масштаб \(k_{1}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{4}\), вдоль направления ребра \(CD\) масштаб \(k_{2}=\frac{KE}{CD}=\frac{3}{4}\), а третье направление, перпендикулярное этим двум, сохраняется без изменения \(k_{3}=1\). Поскольку объём масштабируется как произведение масштабов по трём независимым направлениям, получаем \(V_{MNKE}=V_{DABC}\cdot k_{1}\cdot k_{2}\cdot k_{3}=V_{DABC}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{16}V_{DABC}\).

Теперь найдём \(V_{DABC}\). Объём правильного тетраэдра ребра \(a\) равен \(V=\frac{a^{3}}{6\sqrt{2}}\). Это следует из известной формулы для высоты правильного тетраэдра \(h=\sqrt{\frac{2}{3}}\,a\) и площади основания \(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}\), откуда объём \(V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\,a=\frac{a^{3}}{6\sqrt{2}}\). При \(a=4\) имеем \(V_{DABC}=\frac{4^{3}}{6\sqrt{2}}=\frac{64}{6\sqrt{2}}=\frac{32}{3\sqrt{2}}\). Подставляя в найденную долю объёма, получаем \(V_{MNKE}=\frac{3}{16}\cdot \frac{32}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\).

Упростим результат: \(\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\). Следовательно, объём искомого тетраэдра равен \(V_{MNKE}=\sqrt{2}\,\text{см}^{3}\). Такая величина согласуется с тем, что уменьшение вдоль одного направления в четыре раза и вдоль другого в \(\frac{4}{3}\) раза совместно дают уменьшение объёма в \(\frac{16}{3}\) раз относительно исходного тетраэдра при сохранении третьего направления, то есть точно ту долю \(\frac{3}{16}\), которая приводит к конечному значению \(\sqrt{2}\).