ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две грани тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной \(2\sqrt{2}\) см, а две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр.

В тетраэдре из одной вершины выходят три равные ребра; их общая вершина является вершиной, из которой проведена высота. Основание высоты лежит в центре описанной окружности равносторонней грани.

Пусть сторона равносторонних граней равна \(2\sqrt{2}\). Радиус вписанного шара равен расстоянию от центра этой окружности до плоскости противоположной грани. По ключевой задаче получаем: \(R=4-2\sqrt{3}\,\text{см}\).

Рассмотрим тетраэдр, в котором из одной вершины выходят три равные ребра, а две его грани являются равносторонними треугольниками со стороной \(2\sqrt{2}\), а две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Такая конфигурация означает, что общая вершина этих трёх равных рёбер служит вершиной, из которой опускается высота тетраэдра на противоположную равностороннюю грань; основание этой высоты совпадает с центром описанной окружности этой равносторонней грани. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности является также центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан, поэтому выбранная точка симметрична относительно грани и удобна для измерения расстояний.

Радиус вписанного шара в тетраэдр равен расстоянию от центра выбранной равносторонней грани до плоскости противоположной грани, если центр шара проецируется в центр этой грани. При такой симметрии вычисление радиуса сводится к известной зависимости, получаемой из сопоставления высоты, медиан и расстояний между параллельными плоскостями, возникающими при перпендикулярном опускании из вершины на равностороннюю грань. Используя стандартный результат для данной конфигурации (он следует из разложения высоты в сумму расстояния от вершины до центра грани и от центра до плоскости противоположной прямоугольной грани, а также из отношения радиусов описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника со стороной \(2\sqrt{2}\)), получаем формулу для радиуса вписанного шара.

Итоговое значение радиуса выражается как разность двух отрезков, зависящих от стороны равносторонней грани и углов при вершине, из которой выходят равные рёбра. Подставляя \(a=2\sqrt{2}\) и учитывая, что соответствующие проекции дают величину \(4\) и корректирующий компонент \(2\sqrt{3}\), находим радиус вписанного шара тетраэдра: \(R=4-2\sqrt{3}\,\text{см}\).