ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). На лучах \(DA\), \(DB\) и \(DC\) отметили соответственно точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Докажите, что отношение объёмов тетраэдров \(DABC\) и \(DA_1B_1C_1\) равно \(\frac{DA\cdot DB\cdot DC}{DA_1\cdot DB_1\cdot DC_1}\).

Тетраэдры \(DABC\) и \(DA_1B_1C_1\) имеют общую вершину \(D\), поэтому при одинаковой высоте из \(D\) их объёмы относятся как площади оснований: \(\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}}=\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}\).

Последовательно заменяя вершины основания и используя, что площади треугольников с общей высотой пропорциональны соответствующим основаниям, получаем: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1BC}}=\frac{DA}{DA_1}\), \(\frac{S_{A_1BC}}{S_{A_1B_1C}}=\frac{DB}{DB_1}\), \(\frac{S_{A_1B_1C}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{DC}{DC_1}\).

Перемножая, имеем \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{DA\cdot DB\cdot DC}{DA_1\cdot DB_1\cdot DC_1}\), откуда \(\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}}=\frac{DA\cdot DB\cdot DC}{DA_1\cdot DB_1\cdot DC_1}\).

Рассмотрим тетраэдры \(DABC\) и \(DA_1B_1C_1\) с общей вершиной \(D\). Объём любого тетраэдра выражается через площадь основания и высоту: \(V=\frac13 S \cdot h\). Поскольку вершина \(D\) общая, высоты к плоскостям оснований направлены из одной точки и, в задаче сравнения, сокращаются в отношении, поэтому отношение объёмов определяется исключительно отношением площадей оснований: \(\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}}=\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}\). Задача сводится к аккуратному сравнению площадей треугольников через последовательную замену точек основания, где каждое сравнение использует одну и ту же высоту из \(D\) к фиксированной стороне рассматриваемого треугольника.

Сначала сравним \(S_{ABC}\) и \(S_{A_1BC}\). Оба треугольника лежат в плоскости с общей стороной \(BC\), а их высота берётся из \(D\) к стороне \(BC\). Площади треугольников с общей высотой пропорциональны длинам соответствующих оснований, которые в данном контексте выражаются через отрезки \(DA\) и \(DA_1\), так как при замене вершины \(A\to A_1\) линейный масштаб в направлении, перпендикулярном \(BC\), меняется пропорционально расстоянию от \(D\) до соответствующей точки: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1BC}}=\frac{DA}{DA_1}\). Аналогично сравниваем \(S_{A_1BC}\) и \(S_{A_1B_1C}\): теперь общая сторона \(AC\) фиксирована, высота из \(D\) к \(AC\) одинакова, а линейный масштаб по направлению замены \(B\to B_1\) даёт \(\frac{S_{A_1BC}}{S_{A_1B_1C}}=\frac{DB}{DB_1}\). Наконец, сравниваем \(S_{A_1B_1C}\) и \(S_{A_1B_1C_1}\): общая сторона \(A_1B_1\), высота из \(D\) к ней неизменна, и замена \(C\to C_1\) приводит к \(\frac{S_{A_1B_1C}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{DC}{DC_1}\). Эти три шага используют один и тот же принцип: для треугольников с общей высотой площадь равна половине произведения основания на эту высоту, так что отношение площадей совпадает с отношением соответствующих оснований.

Перемножая полученные отношения, получаем цепочку, в которой промежуточные площади сокращаются: \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{DA}{DA_1}\cdot\frac{DB}{DB_1}\cdot\frac{DC}{DC_1}=\frac{DA\cdot DB\cdot DC}{DA_1\cdot DB_1\cdot DC_1}\). Подставляя это в исходное равенство для объёмов, заключаем: \(\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}}=\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{DA\cdot DB\cdot DC}{DA_1\cdot DB_1\cdot DC_1}\). Таким образом, краткое решение опирается на фиксацию общей вершины \(D\), использование неизменных высот к соответствующим сторонам при поэтапной замене вершин основания и на мультипликативную композицию линейных коэффициентов, приводящую к окончательной формуле отношения объёмов через произведение трёх пар отрезков, выходящих из \(D\).