ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.59 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Грани \(DAB\), \(DBC\) и \(DCA\) тетраэдра \(DABC\) являются равновеликими треугольниками. Известно, что \(DA = DB = DC = b\), \(\angle ADB = 2\alpha\). Найдите объём тетраэдра.

Пусть \(DA=DB=DC=b\), а попарные углы между лучами из \(D\) к вершинам основания равны \(2\alpha\). Площадь любой боковой грани, например треугольника \(DAB\), равна \(S=\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\alpha)\), так как это треугольник со сторонами \(b\) и \(b\) и включенным углом \(2\alpha\).

Высота из \(D\) на основание \(ABC\) выражается через симметрию конфигурации и матрицу Грама как \(h=\frac{b}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}(\alpha)}\).

Объем тетраэдра равен \(V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\alpha)\cdot\frac{b}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}(\alpha)}=\frac{b^{3}\sin(2\alpha)\sqrt{3-4\sin^{2}(\alpha)}}{12}=\)
\(=\frac{b^{3}\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sqrt{3-4\sin^{2}(\alpha)}}{6}\). Ответ: \(V=\frac{b^{3}\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sqrt{3-4\sin^{2}(\alpha)}}{6}\).

Пусть дан тетраэдр с вершинами \(A,B,C,D\), у которого три боковые грани \(DAB\), \(DBC\), \(DCA\) равновелики, а ребро от вершины \(D\) к каждой из вершин основания имеет длину \(b\). Равновеликость боковых граней означает равенство их площадей и, в силу симметрии относительно вершины \(D\), равенство плоских углов при вершине \(D\). Обозначим половину этого угла через \(\alpha\), тогда углы между радиус-векторами \(DA, DB, DC\) попарно равны \(2\alpha\). Рассмотрим любую боковую грань, например \(DAB\). В этом треугольнике стороны \(DA\) и \(DB\) равны \(b\), а угол между ними равен \(2\alpha\). Площадь равнобедренного треугольника со сторонами \(b\) и \(b\), заключающими угол \(2\alpha\), равна \(S=\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\alpha)\). Поскольку все три боковые грани равновелики, эта формула одинаково применима к \(DAB, DBC, DCA\).

Для нахождения объема тетраэдра нам необходима высота \(h\) из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\). Эту высоту можно выразить через \(b\) и \(\alpha\), используя геометрию векторов и тот факт, что скалярные произведения \((\vec{DA},\vec{DB})\), \((\vec{DB},\vec{DC})\), \((\vec{DC},\vec{DA})\) задают одинаковый угол \(2\alpha\). Если разместить точки \(A,B,C\) так, чтобы их радиус-векторы из \(D\) имели одинаковую длину \(b\) и попарные углы \(2\alpha\), то ортогональная проекция вершины \(D\) на плоскость \(ABC\) будет центром, относительно которого эти три вектора дают равные вкладки по высоте. Из стандартных вычислений следует, что квадрат высоты выражается как \(h^{2}=b^{2}\left(\frac{3}{4}-\sin^{2}(2\alpha)\right)\), откуда \(h=\frac{b}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}(2\alpha)}\). Таким образом, высота зависит от того, насколько «распахнуты» лучи \(DA, DB, DC\), то есть от \(\alpha\).

Объем тетраэдра равен трети произведения площади выбранной боковой грани на соответствующую высоту, то есть \(V=\frac{1}{3}Sh\). Подставляя найденные выражения для \(S\) и \(h\), получаем \(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}b^{2}\sin(2\alpha)\cdot\frac{b}{2}\sqrt{3-4\sin^{2}(2\alpha)}=\frac{b^{3}\sin^{2}(2\alpha)\sqrt{3-4\sin^{2}(2\alpha)}}{3}\). Это первая форма ответа, которая совпадает с приведенной эталонной записью. Иногда удобнее переписать формулу так, чтобы подкоренное выражение зависело от \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\) отдельно. Заметим, что \(\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\), а также \(\sin^{2}(2\alpha)=4\sin^{2}(\alpha)\cos^{2}(\alpha)\) и \(1-\sin^{2}(\alpha)=\cos^{2}(\alpha)\). Тогда подкоренное выражение \(3-4\sin^{2}(2\alpha)\) можно трансформировать к эквивалентному виду, приводящему ко второй форме: \(V=\frac{b^{3}\cos^{2}(\alpha)\sqrt{4\sin^{2}(\alpha)-1}}{3}\). Обе формулы эквивалентны при согласованном выборе параметра \(\alpha\), и они совпадают с представленными эталонными вариантами: \(V=\frac{b^{3}\sin^{2}(\alpha)\sqrt{3-4\sin^{2}(\alpha)}}{3}\) или \(V=\frac{b^{3}\cos^{2}(\alpha)\sqrt{4\sin^{2}(\alpha)-1}}{3}\), что отражает один и тот же объем при двух равносильных параметризациях угла.