ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота — 9 см.

Объём усечённой правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле
\( V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \).

Площади оснований равны
\( S_1 = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \) и
\( S_2 = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} \).

Подставляем в формулу:
\( V = \frac{1}{3} \cdot 9 \left(\frac{25 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4}} + \frac{100 \sqrt{3}}{4}\right) \).

Вычисляем корень:
\( \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4}} = \frac{50 \sqrt{3}}{4} \).

Складываем и умножаем:
\( V = 3 \cdot \frac{175 \sqrt{3}}{4} = \frac{525 \sqrt{3}}{4} \).

Ответ:
\( V = \frac{525 \sqrt{3}}{4} \) куб. см.

Объём усечённой правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле
\( V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \),
где \( h \) — высота пирамиды, а \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно. В данном случае высота равна 9 см. Чтобы найти объём, сначала нужно вычислить площади оснований, которые являются правильными треугольниками с заданными сторонами 5 см и 10 см.

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) находится по формуле
\( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
Для нижнего основания со стороной 5 см площадь будет
\( S_1 = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \).
Для верхнего основания со стороной 10 см площадь равна
\( S_2 = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} \).

Подставляя найденные площади в формулу объёма, получаем
\( V = \frac{1}{3} \cdot 9 \left(\frac{25 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4}} + \frac{100 \sqrt{3}}{4}\right) \).
Вычислим выражение под корнем:
\( \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{100 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{2500 \cdot 3}{16}} = \sqrt{\frac{7500}{16}} = \frac{50 \sqrt{3}}{4} \).
Теперь складываем все слагаемые внутри скобок:
\( \frac{25 \sqrt{3}}{4} + \frac{50 \sqrt{3}}{4} + \frac{100 \sqrt{3}}{4} = \frac{175 \sqrt{3}}{4} \).
Умножая на \(\frac{1}{3} \cdot 9 = 3\), получаем
\( V = 3 \cdot \frac{175 \sqrt{3}}{4} = \frac{525 \sqrt{3}}{4} \).

Таким образом, объём усечённой правильной треугольной пирамиды с высотой 9 см и основаниями со сторонами 5 см и 10 см равен
\( \frac{525 \sqrt{3}}{4} \) кубических сантиметров.