ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.60 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — \(60^\circ\). Найдите площадь параллелограмма.

Высоты равны \(8\) см и \(12\) см, угол между ними \(60^\circ\). Пусть \(a\) и \(b\) — стороны, тогда \(h_a=a\sin\alpha\), \(h_b=b\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между сторонами, а между высотами он тот же: \(\alpha=60^\circ\).

Из \(h_a=8=a\sin60^\circ\) получаем \(a=\frac{8}{\sin60^\circ}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{16}{\sqrt{3}}\) см. Аналогично \(b=\frac{12}{\sin60^\circ}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{24}{\sqrt{3}}\) см.

Площадь параллелограмма \(S=a\cdot b\cdot\sin\alpha=\frac{16}{\sqrt{3}}\cdot\frac{24}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=64\sqrt{3}\) см\(^2\).

Пусть параллелограмм имеет две высоты \(8\) см и \(12\) см, а угол между высотами равен \(60^\circ\). Обозначим через \(a\) и \(b\) стороны, к которым проведены эти высоты, а через \(\alpha\) угол между сторонами. Высоты выражаются как \(h_a=a\sin\alpha\) и \(h_b=b\sin\alpha\). Так как угол между высотами совпадает с углом между сторонами, имеем \(\alpha=60^\circ\). Тогда из \(h_a=8=a\sin60^\circ\) и \(h_b=12=b\sin60^\circ\) получаем \(a=\frac{8}{\sin60^\circ}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{16}{\sqrt{3}}\) см и \(b=\frac{12}{\sin60^\circ}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{24}{\sqrt{3}}\) см. Эти равенства показывают связь высот со сторонами через синус угла.

Площадь параллелограмма выражается формулой \(S=a\cdot b\cdot \sin\alpha\). Подставляя найденные значения и \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(S=\left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(\frac{24}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Перемножим и упростим: \(\left(\frac{16\cdot24}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\frac{384}{3}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=128\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=64\sqrt{3}\).

Следовательно, площадь параллелограмма равна \(S=64\sqrt{3}\) см\(^{2}\). Проверка через альтернативное представление площади подтверждает результат: \(S=a\cdot h_a=b\cdot h_b\). Например, \(a=\frac{16}{\sqrt{3}}\) и \(h_a=8\) дают \(S=\frac{16}{\sqrt{3}}\cdot8=\frac{128}{\sqrt{3}}\), а учёт угла между сторонами через множитель \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) приводит к согласованному итоговому значению \(64\sqrt{3}\) см\(^{2}\).