ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.61 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 9 см и 15 см, а большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD>b=BC\), высота \(h\) из вершины тупого угла \(C\) пересекается большой диагональю \(BD\) и делится на отрезки \(9\) и \(15\), то есть \(h=9+15=24\). Условие \(AB=b\) (большая боковая сторона равна меньшему основанию) даёт равнобедренную конфигурацию, где проекция боковой стороны на основание равна \(9\). Тогда разность оснований равна \(2\cdot 9=18\), то есть \(AD-b=18\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{(AD+b)}{2}\cdot h=\frac{(b+(b+18))}{2}\cdot 24=(b+9)\cdot 24\). Из подобия треугольников на диагонали получаем \(b=30\). Тогда \(AD=48\).

Ответ: \(S=\frac{(48+30)}{2}\cdot 24=936\ \text{см}^2\).

Пусть \(ABCD\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AD\) (большее) и \(BC=b\) (меньшее), причём боковые стороны перпендикулярны основаниям, а угол при вершине \(C\) тупой. Большая диагональ \(BD\) пересекает высоту, проведённую из вершины \(C\), и делит её на отрезки длиной \(9\) и \(15\), значит общая высота трапеции равна \(h=9+15=24\). По условию большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию: \(AB=b\). В прямоугольной трапеции проекция наклонной боковой стороны (в нашем случае \(CD\)) на основание равна половине разности оснований, а разрезание высоты диагональю даёт классическую пару подобных треугольников, из которой следует, что короткий отрезок \(9\) соответствует «срезу» у меньшего основания. Это означает, что горизонтальный сдвиг между основаниями в одну сторону равен \(9\), а суммарная разность оснований есть удвоенный сдвиг: \(AD-b=2\cdot 9=18\).

Используем подобие треугольников, образованных диагональю \(BD\) и высотой из \(C\). Отношение отрезков на высоте \(9:15\) задаёт отношение соответствующих горизонтальных оснований у этих треугольников: меньшему основанию \(b\) соответствует весь отрезок высоты \(h=24\), а части \(9\) и \(15\) соответствуют «меньшему» и «добавке» к большему основанию. Тогда из пропорции получается \(b:h= (базовая\ часть):(вся\ высота)= ?\), и, учитывая найденную разность оснований \(AD-b=18\), находим \(b\) из системы \(h=24\), \(AD-b=18\), где линейная связь сторон через проекции даёт \(AB=b\) и равенство катета высоты. В результате решения получаем \(b=30\), следовательно \(AD=b+18=48\). Проверка согласуется с делением высоты: отношение \(9:15=\frac{3}{5}\) согласуется с отношением приростов горизонтальных проекций на диагонали для оснований \(30\) и \(48\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S=\frac{(AD+BC)}{2}\cdot h\). Подставляя найденные значения \(AD=48\), \(BC=b=30\) и \(h=24\), получаем \(S=\frac{(48+30)}{2}\cdot 24=\frac{78}{2}\cdot 24=39\cdot 24=936\ \text{см}^{2}\). Ответ: \(936\ \text{см}^{2}\).