ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно \(b\) и образует с высотой пирамиды угол \(\alpha\).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S \cdot h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота.

Высота равна \(SO = b \cos \alpha\), так как \(\cos \alpha = \frac{SO}{b}\).

Длина отрезка \(OC = b \sin \alpha\). Поскольку основание — квадрат, сторона \(AB = \frac{2 OC}{\sqrt{2}} = \frac{2 b \sin \alpha}{\sqrt{2}}\).

Площадь основания \(S = AB^2 = 2 b^2 \sin^2 \alpha\).

Подставляем в формулу объема: \(V = \frac{1}{3} \cdot 2 b^2 \sin^2 \alpha \cdot b \cos \alpha = \frac{2}{3} b^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha\).

Объем правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S \cdot h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. Для нахождения объема через длину бокового ребра \(b\) и угол \(\alpha\), который это ребро образует с высотой, необходимо определить сначала высоту и размеры основания. Рассмотрим треугольник \(SOC\), где \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр основания, а \(C\) — середина стороны основания. В этом треугольнике боковое ребро \(b\) является гипотенузой, а высота \(SO\) — прилежащим катетом к углу \(\alpha\).

Из определения косинуса угла \(\alpha\) в треугольнике \(SOC\) следует, что \(\cos \alpha = \frac{SO}{b}\), откуда высота пирамиды равна \(SO = b \cos \alpha\). Это ключевой момент, так как высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, и именно она участвует в формуле объема. Далее, используя синус угла \(\alpha\), находим длину отрезка \(OC\), который является одним из элементов основания: \(\sin \alpha = \frac{OC}{b}\), значит \(OC = b \sin \alpha\).

Основание пирамиды — правильный квадрат, и длина его стороны связана с отрезком \(OC\). В квадрате диагональ равна стороне, умноженной на \(\sqrt{2}\), а \(OC\) — половина диагонали основания, так как \(C\) — середина стороны. Следовательно, длина стороны основания равна \(AB = \frac{2 OC}{\sqrt{2}} = \frac{2 b \sin \alpha}{\sqrt{2}}\). Площадь основания \(S\) равна квадрату длины стороны, то есть \(S = AB^{2} = \left(\frac{2 b \sin \alpha}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2 b^{2} \sin^{2} \alpha\). Подставляя найденные значения площади основания и высоты в формулу объема, получаем: \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2 b^{2} \sin^{2} \alpha \cdot b \cos \alpha = \frac{2}{3} b^{3} \sin^{2} \alpha \cos \alpha\). Таким образом, объем пирамиды выражается через длину бокового ребра и угол между этим ребром и высотой.