ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого равно \(a\).

Объём тетраэдра вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\).

Площадь основания правильного треугольника \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Высота тетраэдра \(h = \frac{a \sqrt{6}}{3}\).

Подставляем значения:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3 \sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}\).

Ответ: \(V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}\).

Объём правильного тетраэдра вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Основанием тетраэдра является правильный треугольник, поэтому сначала нужно найти его площадь. Для правильного треугольника со стороной \(a\) площадь рассчитывается по формуле \(S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Эта формула получается из классической формулы площади треугольника, где высота равна \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \), а площадь равна половине произведения основания на высоту.

Далее нужно найти высоту тетраэдра. Высота тетраэдра — это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Для правильного тетраэдра высота выражается формулой \(h = \frac{a \sqrt{6}}{3}\). Это значение получается из геометрических соотношений в правильном тетраэдре, где все рёбра равны, и высота связана с длиной ребра и углами между гранями.

Подставляя найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма, получаем:
\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{18}}{36}\).
Преобразуем корень: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \sqrt{2}\), тогда
\(V = \frac{a^{3} \cdot 3 \sqrt{2}}{36} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}\).
Таким образом, объём правильного тетраэдра с ребром \(a\) равен \( \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} \).