ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 19.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно \(b\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота.

Высота равна \(h = b \sin \alpha\), так как боковое ребро \(b\) образует угол \(\alpha\) с плоскостью основания.

Сторона основания \(a\) связана с проекцией бокового ребра: \(a = b \sqrt{3} \cos \alpha\).

Площадь основания \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2 \alpha\).

Подставляем в формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} S h = \frac{\sqrt{3}}{4} b^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha\).

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \(b\), образующим угол \(\alpha\) с плоскостью основания, необходимо использовать формулу объёма пирамиды \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Важно понять, как выразить площадь основания и высоту через заданные параметры \(b\) и \(\alpha\).

Высота пирамиды \(h\) — это перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания. Поскольку боковое ребро \(b\) образует угол \(\alpha\) с плоскостью основания, высота является проекцией этого ребра на направление, перпендикулярное основанию. Следовательно, высота равна \(h = b \sin \alpha\). Это связано с тем, что если представить боковое ребро как гипотенузу прямоугольного треугольника, угол при основании которого равен \(\alpha\), то высота будет катетом, лежащим напротив угла \(\alpha\).

Для определения площади основания \(S\) нужно найти сторону правильного треугольника основания \(a\). Проекция бокового ребра \(b\) на плоскость основания равна \(b \cos \alpha\). В правильном треугольнике расстояние от центра основания до любой вершины равно радиусу описанной окружности, который выражается как \(\frac{a}{\sqrt{3}}\). Поскольку эта проекция равна радиусу описанной окружности, получаем уравнение \(b \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{3}}\), откуда следует \(a = b \sqrt{3} \cos \alpha\).

Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\). Подставляя найденное значение \(a\), получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b \sqrt{3} \cos \alpha)^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 b^{2} \cos^{2} \alpha = \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^{2} \cos^{2} \alpha\).

Теперь подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^{2} \cos^{2} \alpha \cdot b \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{3} \sin \alpha \cos^{2} \alpha\). Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром \(b\), образующим угол \(\alpha\) с плоскостью основания, равен \(V = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{3} \sin \alpha \cos^{2} \alpha\).