ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 2.10 изображена правильная призма \(ABCA_1B_1C_1\).

Равны ли векторы:

1) \(AC\) и \(A_1C_1\);

2) \(AC\) и \(A_1B_1\);

3) \(BB_1\) и \(C_1C\);

4) \(BB_1\) и \(AA_1\)?

1) Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \) равны, так как призма правильная и соответствующие ребра параллельны и равны по длине. Ответ: да.

2) Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{A_1B_1} \) не равны, так как они не параллельны и имеют разное направление. Ответ: нет.

3) Векторы \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{C_1C} \) не равны, так как \( \overrightarrow{BB_1} \) направлен вертикально вверх, а \( \overrightarrow{C_1C} \) — горизонтально. Ответ: нет.

4) Векторы \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) равны, так как это боковые ребра правильной призмы, параллельные и равные по длине. Ответ: да.

1) Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \) принадлежат соответствующим ребрам основания и верхнего основания правильной призмы. В правильной призме основания — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые ребра параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, соединяющие соответствующие вершины, параллельны и имеют одинаковую длину. Это значит, что \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \) равны по модулю и направлению, то есть равны как векторы. Поэтому ответ — да.

2) Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{A_1B_1} \) лежат в разных плоскостях и не параллельны друг другу. Вектор \( \overrightarrow{AC} \) соединяет две вершины основания, а \( \overrightarrow{A_1B_1} \) — две вершины верхнего основания, но не соответствующие друг другу по расположению. Кроме того, направление этих векторов различно: \( \overrightarrow{AC} \) направлен по диагонали основания, а \( \overrightarrow{A_1B_1} \) — по стороне верхнего основания. Поэтому они не равны. Ответ — нет.

3) Векторы \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{C_1C} \) тоже не равны. Вектор \( \overrightarrow{BB_1} \) — это боковое ребро призмы, направленное вертикально вверх, соединяющее соответствующие вершины основания и верхнего основания. Вектор \( \overrightarrow{C_1C} \) направлен горизонтально и соединяет вершины верхнего и нижнего основания, но в обратном порядке (от верхней к нижней). Поскольку направления и длины этих векторов различны, они не равны. Ответ — нет.

4) Векторы \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) — это боковые ребра правильной призмы, соединяющие соответствующие вершины основания и верхнего основания. Все боковые ребра в правильной призме равны по длине и параллельны друг другу, так как основания расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, векторы \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) равны по длине и направлению, то есть равны как векторы. Ответ — да.