ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \(A(5; -12; 7)\), \(B(0; y; 3)\), \(C(x; 17; -14)\) и \(D(15; 0; z)\). При каких значениях \(x, y\) и \(z\) верно равенство \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)?

Даны точки \( A(5; -12; 7) \), \( B(0; y; 3) \), \( C(x; 17; -14) \), \( D(15; 0; z) \).

Для равенства векторов \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) должны выполняться равенства по координатам:

\[
\overrightarrow{AB} = (0 — 5; y + 12; 3 — 7) = (-5; y + 12; -4)
\]

\[
\overrightarrow{CD} = (15 — x; 0 — 17; z + 14) = (15 — x; -17; z + 14)
\]

Приравниваем соответствующие координаты:

\[
-5 = 15 — x
\]

\[
y + 12 = -17
\]

\[
-4 = z + 14
\]

Решаем каждое уравнение:

\[
x = 20
\]

\[
y = -29
\]

\[
z = -18
\]

Даны точки \( A(5; -12; 7) \), \( B(0; y; 3) \), \( C(x; 17; -14) \), \( D(15; 0; z) \). Чтобы найти значения \( x \), \( y \) и \( z \), при которых векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равны, нужно сначала записать координаты этих векторов. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) определяется как разность координат точки \( B \) и точки \( A \), то есть \( \overrightarrow{AB} = (0 — 5; y — (-12); 3 — 7) \). При упрощении получаем \( \overrightarrow{AB} = (-5; y + 12; -4) \).

Аналогично, вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен разности координат точки \( D \) и точки \( C \), то есть \( \overrightarrow{CD} = (15 — x; 0 — 17; z — (-14)) \). Это дает \( \overrightarrow{CD} = (15 — x; -17; z + 14) \). Для того чтобы эти два вектора были равны, должны совпадать все три компоненты векторов. Значит, нужно приравнять соответствующие координаты: \( -5 = 15 — x \), \( y + 12 = -17 \), \( -4 = z + 14 \).

Решим каждое из уравнений. Из первого уравнения \( -5 = 15 — x \) выразим \( x \): \( x = 15 + 5 = 20 \). Из второго уравнения \( y + 12 = -17 \) выразим \( y \): \( y = -17 — 12 = -29 \). Из третьего уравнения \( -4 = z + 14 \) выразим \( z \): \( z = -4 — 14 = -18 \). Таким образом, при \( x = 20 \), \( y = -29 \), \( z = -18 \) векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) совпадают по всем координатам, то есть равны.