ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(k\) векторы \(\vec{a}(4; k+3; 10)\) и \(\vec{b}(k; 4; k+9)\) имеют равные модули?

Рассмотрим модули векторов \(\vec{a} = (4; k+3; 10)\) и \(\vec{b} = (k; 4; k+9)\).

Равенство модулей:

\(\sqrt{4^2 + (k+3)^2 + 10^2} = \sqrt{k^2 + 4^2 + (k+9)^2}\)

Возводим в квадрат обе части:

\(16 + (k+3)^2 + 100 = k^2 + 16 + (k+9)^2\)

Раскрываем скобки:

\(16 + k^2 + 6k + 9 + 100 = k^2 + 16 + k^2 + 18k + 81\)

Упрощаем:

\(k^2 + 6k + 125 = 2k^2 + 18k + 97\)

Переносим все в одну сторону:

\(k^2 + 12k — 28 = 0\)

Вычисляем дискриминант:

\(D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256\)

Корни уравнения:

\(k_1 = \frac{-12 — 16}{2} = -14\)

\(k_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2\)

Ответ: \(k = -14\) или \(k = 2\)

Рассмотрим два вектора: \(\vec{a} = (4; k+3; 10)\) и \(\vec{b} = (k; 4; k+9)\). Нам нужно найти такие значения \(k\), при которых длины (модули) этих векторов будут равны. Модуль вектора вычисляется по формуле: \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x, y, z\) — компоненты вектора.

Для вектора \(\vec{a}\) модуль равен \(\sqrt{4^2 + (k+3)^2 + 10^2}\). Раскроем степени: \(4^2 = 16\), \(10^2 = 100\), а \((k+3)^2 = k^2 + 6k + 9\). Значит, модуль \(\vec{a}\) равен \(\sqrt{16 + k^2 + 6k + 9 + 100}\), что упрощается до \(\sqrt{k^2 + 6k + 125}\).

Для вектора \(\vec{b}\) модуль равен \(\sqrt{k^2 + 4^2 + (k+9)^2}\). Здесь \(4^2 = 16\), а \((k+9)^2 = k^2 + 18k + 81\). Значит, модуль \(\vec{b}\) равен \(\sqrt{k^2 + 16 + k^2 + 18k + 81}\), что упрощается до \(\sqrt{2k^2 + 18k + 97}\).

Чтобы модули были равны, приравняем их квадраты (чтобы избавиться от корня): \(k^2 + 6k + 125 = 2k^2 + 18k + 97\). Переносим все члены влево: \(k^2 + 6k + 125 — 2k^2 — 18k — 97 = 0\), что упрощается до \(-k^2 — 12k + 28 = 0\) или \(k^2 + 12k — 28 = 0\).

Решаем квадратное уравнение \(k^2 + 12k — 28 = 0\) с помощью дискриминанта: \(D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256\). Корни уравнения находятся по формуле \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=12\), \(c=-28\). Подставляем: \(k_1 = \frac{-12 — 16}{2} = -14\), \(k_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2\).

Ответ: \(k = -14\) или \(k = 2\).