ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 2.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите точку, являющуюся образом при параллельном переносе на вектор \(\vec{a}(6; -2; 3)\) точки:

1) \(M(5; -3; 7)\);

2) \(O(0; 0; 0)\);

3) \(K(-4; 0; 1)\).

Для параллельного переноса точки \(P(x, y, z)\) на вектор \(\vec{a}(6; -2; 3)\) новая точка \(P’\) находится по формуле:

\(P’ = (x + 6; y — 2; z + 3)\).

1) Для точки \(M(5; -3; 7)\):

\(M’ = (5 + 6; -3 — 2; 7 + 3) = (11; -5; 10)\).

2) Для точки \(O(0; 0; 0)\):

\(O’ = (0 + 6; 0 — 2; 0 + 3) = (6; -2; 3)\).

3) Для точки \(K(-4; 0; 1)\):

\(K’ = (-4 + 6; 0 — 2; 1 + 3) = (2; -2; 4)\).

Параллельный перенос точки на вектор — это операция, при которой к каждой координате исходной точки прибавляются соответствующие координаты вектора переноса. Если у нас есть точка с координатами \( (x; y; z) \) и вектор переноса \( \vec{a} = (a_x; a_y; a_z) \), то новая точка после переноса будет иметь координаты \( (x + a_x; y + a_y; z + a_z) \). В данном случае вектор переноса задан как \( \vec{a} = (6; -2; 3) \). Это означает, что для получения новой точки нужно к \( x \) прибавить 6, к \( y \) прибавить -2 (то есть вычесть 2), а к \( z \) прибавить 3.

Рассмотрим первую точку \( M(5; -3; 7) \). Для нахождения образа точки \( M’ \) при параллельном переносе на вектор \( \vec{a} \) мы выполняем следующие действия: к первой координате 5 прибавляем 6, получаем 11; ко второй координате -3 прибавляем -2, получаем -5; к третьей координате 7 прибавляем 3, получаем 10. Таким образом, новая точка \( M’ \) имеет координаты \( (11; -5; 10) \).

Для второй точки \( O(0; 0; 0) \), которая является началом координат, перенос на вектор \( \vec{a} \) просто переносит её в точку с координатами самого вектора. К каждой координате нуля прибавляем соответствующие координаты вектора: \( 0 + 6 = 6 \), \( 0 — 2 = -2 \), \( 0 + 3 = 3 \). Получаем новую точку \( O’ = (6; -2; 3) \). Для третьей точки \( K(-4; 0; 1) \) аналогично: \( -4 + 6 = 2 \), \( 0 — 2 = -2 \), \( 1 + 3 = 4 \), значит \( K’ = (2; -2; 4) \). Таким образом, параллельный перенос смещает каждую точку на одинаковое расстояние в пространстве, заданное вектором \( \vec{a} \).